陈建功：⼆⼗世纪的数学教育
此地所说数学教育，以中等学校的数学为核⼼；关于⾼等学校⽅⾯的数学，和⼩学校的算术教育，不预备在此地有所详述。本⽂说数学教育，以⼆⼗世纪的数学教育为主，读了下⽂，⾃然明⽩。
⽀配数学教育的⽬标、材料和⽅法，有三⼤原则：
实⽤性的原则
数学在⽇常⽣活中已⻅其有其实⽤价值的；如⼟地改⾰运动中的分⽥量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱⼦的体积，都是数学的应⽤。不但如是，数学也是物质⽀配和社会组织之⼀武器，对于⾃然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。假如数学没有实⽤，它就不应该列⼊于教科之中。
论理的原则
然⽽仅仅乎实⽤原则，不⾜以⽀配整个的数学教育。数学具有特殊的⽅法和观念，组成有系统的体系。数学并不是公式的堆垒，其所⽤之⽅法，也具有教育上的价值。
断⽚的推理，不但⻅诸任何学科，也可从⽇常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理的体系者，限于数学⼀科。数学具有这样的教育价值，称之为论理的价值，是为说理的原则。假如把数学当做图形集成或公式采编看待，忽视其⽅法和构造，那未，对于⾃然⽀配、社会组织，不但不成为⼀种武器，有时且成为有害的东⻄──例如将数学机械的乱⽤，导出不合理的结果。忽视数学教育论理性的原则，⽆异于数学教育的⾃杀。
编者按
我们即将跨⼊⼆⼗⼀世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的⾯貌。然⽽新⾯貌不会⾃然产⽣，它需要我们理性的思考和积极的实践。数学教育改⾰中，历史的经验值得注意，有识之⼠的意⻅是宝贵的。
陈建功先⽣（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院⼠（原学部委员）。
他的《⼆⼗世纪的数学教育》⼀⽂，发表于1952年2⽉的《中国数学杂志》（1953年后该杂志改名为《数学通报》）第⼀卷第⼆期，当时正是新中国成⽴初期百废待兴的年代。在这篇⽂章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的⾰新”的殷切⼼情，“以中等学校的数学为核⼼”，对⼆⼗世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改⾰等重要问题，提出颇有⻅地的意⻅。
重读陈先⽣的《⼆⼗世纪的数学教育》⼀⽂，对于迎接⼆⼗⼀世纪的数学教育⼗分有益。
近⽇⽂章发出后，有读者提出缺少参考⽂献，希望重新完善本⽂，于是经过编辑校对，将参考⽂献补⾜重新排版如下。
⼼理的原则然则上述两原则⾜够决定数学教育的本质么？当然还不够条件。教材的内容，对于学⽣宜富于兴趣；枯燥⽆味的东⻄，决不能充作教材；于是乎有⼼理的原则。成⼈所喜之推理或实⽤问题，未必为未成年的⻘年所满⾜。
法国数学家H?庞加莱（Poincaré）曾经说道：“有某教师在课室中，令学⽣们笔记‘圆周者，平⾯上于⼀定点等距离之点之轨迹也，’忠实的学⽣，记下来了；顽⽪的学⽣，不但⽆兴趣去记，甚⾄写些别的不相⼲的东⻄。事实上，不论那⼀种学⽣，都尚未了解圆周为何物。后来，教师⽤粉笔作圆于⿊板上，全班学⽣⽅才明⽩‘圆周原来是⼀个圆圈’。
”科学家A?爱因斯坦（Einstein）也说道：“学⽣仅管对于数学以外的事物，具有才能，对于数学可以朦昧⽆知。此种实情，其责任恐不能完全归之于学⽣，甚⾄可以完全可以归罪于教师。”吾⼈应该站在学⽣的⽴场；顺应学⽣的⼼理发展去教育学⽣，才能满⾜他们的真实感。某些教材，虽然具有⾼度的实⽤性价值或⾼度的论理性价值，假使学⽣不发⽣任何真实感，就⼼理的原则⽽⾔，这些教材，简值是没有教育的价值。
三原则之统⼀
上述三原则应该综合统⼀⽽不应该对⽴。然则统⼀之关键何在?是必须先就学⽣⽣活的环境中，使其易于接触易于理解且有实⽤价值的事物出发，以向论理的途径进⾏。所以⼼理性和实⽤性应该是论理性的向导，选择教材不应该先将实⽤性和论理性分别采取，然后合拢；这样勉强凑成的教材，是⽀离破裂的。把数学的观念和⽅法运⽤于实际应⽤问题时，理论上的疑问，⾃然油然⽽⽣；岂可以预先制成⽣硬的数学理论，强求适合于实⽤！
数学和其他的学科, 并没有什么⼤不相同的地⽅，因为他常常伴着⽣产⼒、技术发展开来的。对于古代数学的发⽣，恩格斯 (Engels) 曾经说过:“季节的知识⽼早对于农业种族或游牧⺠族，已经绝对需要。天⽂学没有数学的帮助，是⽆从发展起来的。所以在这‘古代’，已经有了数学。农业发达到某阶段，因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要，⼒学跟着发⽣，⼒学没有数学的帮助，⽆由⻓⾜进展。
”此不独在数学的诞⽣期为然，⽆论在什么时代，数学常常伴着⾃然科学技术、社会科学发展⽽发展。
数学教育家能（Nunn）说的：“数学的真理具有两⾯。其⼀⾯的数学真理，向时空的实在世界进展⽽与之接触。还有⼀⾯的数学真理，在数学的内部，相互对应，保持联系。数学史就是把这两⾯真理的不断的发展，叙述其经过情形。这两⾯的发展，并⾮互相独⽴，此未曾离彼，彼变未曾离此。
今后的数学恐也是这样，两⾯不曾分道扬镳，各⾃存在。所以数学教育，应该使学⽣认清数学的发展，具有上述两重意义。数学是物质的征服和社会的组织之⼀武器，同时是⼀有秩序的论理体系。”
统⼀了上述三原则，以调和的精神，选择教材，决定教法，实践的过程，称之为数学教育。
01
⼆⼗世纪以前的数学教育数学教育并不是⼀种幻想，乃是实践。数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的⼀种⽂化形式，⾃然具有历史性。
就欧洲⽽⾔，其在奴⾪社会制的古代希腊，⽀配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践⼏何；重视他们所谓“和⾏动没有关系的真科学”──就是数论──和“抽象的”⼏何学，岂不是太偏重于论理性！在中世纪封建社会，教育为个⼈所⽀配，数学教育成为宗教的奴⾪。事实上，此时数学教育，偏重于低级的实⽤性──与⽣产和科学脱离的宗教上的实⽤性。
⽂艺复兴⽽后，⼯商业加速度的进展；⽣产⼒之发展，促成⾃然科学的发达，因此发⽣机械论的唯物论。所以⼗七、⼗⼋世纪的数学教育，⾃然强调实⽤性。经过法兰⻄⼤⾰命，巴黎成为欧洲⽂化的中⼼，因时代的要求，“⼀般陶冶”的话头，逐渐流⾏；中等教育不能专为牧师（神学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“⼀般陶冶”。其特⾊是将数学和近世语添⼊教科之中。
数学占了普遍教育的⼀科，是从⼗⼋世纪开始的，所以严格的说：数学教育萌芽于⼗⼋世纪。但是，数学教授的内容，⼤部分是“理论数学”；应⽤⽅⾯的数学，意识的为所排斥。究其实际，他的内容也是限于希腊时代⾄⼗七世纪间的数学；这个状态⼀直延⻓到⼗九世纪之末。⼗九世纪的数学，虽然⾮常进展，然⽽它并没有促成数学教育的改进，因此，⼗九世纪的数学教育，和近代的科学（⼗九世纪的科学），社会的⽣活，⼏乎没有关系。
相反地，因⼊学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核⼼。事实上，当时所采⽤的⼏何学课本，就是欧⼏⾥得⼏何原本最初数章；代数学和三⻆法，是将专⻔的材料，压缩⽽成的，太古太多，脱离实际需要。当时的物理化学等⾃然科学等教材，已能推陈出新；然⽽保守的数学，不改旧态。
到了⼗九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给⼈们的⽣活状态以重⼤的变动。⽆产阶级的解放运动，从⽽开始了中等教育的内容，不能不有所更变。