在某视频平台上，真有⼀只会算数的⼩猪，名叫奇奇（账号名为“⼩猪奇奇会算数”）。他的主⼈提出5以内加减法的题⽬，奇奇就会⽤嘴巴从⾯前的⼏个卡⽚中叼起写有正确答案的卡⽚。会算数的动物其实早在20世纪初期就有出现了。⼀位叫做威廉·冯·奥斯滕（Wilhelm Von Osten）的德国⻢戏团驯兽师名扬⼀时，这有赖于他的得意搭档——⼀匹名叫汉斯（Hans）的⻢。
起初，汉斯只是能够解决⼀些简单的加法问题，例如，当主⼈在两张桌⼦上分别摆放5件和3件物体时，汉斯就会⽤蹄⼦敲击地⾯8次，作为对5+3这个问题的回答。随着名⽓的增⻓，汉斯的能⼒也与⽇俱增，他甚⾄能够对⿊板上⽤阿拉伯数字书写的如2/5+1/2这样的复杂问题给出正确的答案——先⽤蹄⼦敲9下，然后再敲10下，表示9/10。
汉斯的神奇能⼒引起了⼼理学家们的怀疑，⼀位名叫奥斯卡·芬格斯特（Oskar Pfungst）的研究者提出假设：汉斯可能并不是真的理解了算数问题，⽽是主⼈在其敲击到正确次数时给了汉斯隐蔽的提示，让汉斯停⽌敲击。为了验证这⼀假设，他先把算数问题只呈现给主⼈，再把题板转向汉斯，在部分试次中，题板上的题⽬会悄悄被换掉——此时主⼈并不知道汉斯所看到的题⽬已经和他⾃⼰刚刚看到的有所不同。
结果显示，当主⼈不知道汉斯所看的题⽬时，汉斯就⽆法给出正确的答案。这⼀项简单的实验有⼒地证实了芬格斯特的假设。今天，⼼理学上将实验者预期对实验对象（⽆论是⼈还是动物）⾏为的影响称作“观察者预期效应”或“聪明的汉斯效应”。回到开头提到的“⼩猪奇奇”，我们不难推断，⼩猪很有可能也是在受到了主⼈隐蔽的提示后才选出了正确的答案。
在探讨动物的计算能⼒之前，我们有必要⾸先考察的⼀个问题是：动物能否像我们⼀样认识数量？⼀个简单的实验设计被称为“延迟匹配到数量任务”（delayed match-to-numerosity task, DMNT）。
实验者⾸先给⼈或动物呈现包含⼀定数量的点的图案，接着，图案消失⼀段时间，再呈现⼀个新的图案——如果新的图案与之前的图案包含相同数量的点，受试则需要按键，在规定时间内的按键会带来⻝物（对于动物）或⾦钱（对于⼈类）的奖励。相反，当呈现的图案包含的点的数量与之前不同时，受试需要“忍住”不去按键，直到⼀段时间之后屏幕上会呈现⼀个必定与之前包含相同数量的点的图案，这时，我们的受试们就可以去按键获取奖励了。
实验结果清晰地显示出，⽆论是乌鸦、猕猴还是⼈类（由于呈现时间短，⼈类没有⾜够的时间进⾏逐个数数），随着点的数量的增加，他们对数量的分辨率都开始下降。对于这种模糊的数量感知，神经科学家斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）给出了⼀个形象的⽐喻：蓄⽔池隐喻。
他假想流落荒岛的鲁滨逊为了计数⼟著⼈的数量，搭建了⼀个简易的蓄⽔池，每次有⼀个⼟著⼈到来，鲁滨逊便向蓄⽔池中蓄注⼀些⽔，这样，⽔⾯的⾼度就代表了⼟著⼈的数量。然⽽，由于没有准确的量具，他每次蓄⽔的体积在⼀定范围内波动。如此⼀来，蓄⽔1次和蓄⽔2次的⽔位显然有着明显的不同；但当需要计数的数量变得较⼤，蓄⽔9次和蓄⽔10次后的⽔⾯⾼度就可能难以区分了。
除了⾏为上的证据，研究者们还在猴的⼤脑的前额叶脑区（这⾥常常被认为与各种⾼级的脑功能有关）中发现了表征数量的神经元。与⾏为上的结果相⼀致，这些神经元虽然对特定的数量活动最多，对其相近的数量也表现出⼀定⽔平的活动。在证明了动物对数量有不精确的感知能⼒之后，是时候给他们真正的数学题考验了。不过，如何让他们理解题⽬的含义呢？
Cantlon等⼈设计了⼀个巧妙的实验：他在屏幕上先呈现⼀个圆点，接着，⼀个⼤⽅块从屏幕上⽅降下，盖住圆点，然后，另⼀个圆点从屏幕侧⽅出现，藏进⽅块的背后，这⼀过程就代表了1+1。最后，包含不同圆点数量的两个选项呈现在猴⼦⾯前，猴⼦只有选出正确的数量（2）才能得到他喜爱的果汁。如果是减法，则是减数个圆点先被⽅块盖住，然后有减数个圆点从⽅块后⾯⻜出来。
整个过程完全在计算机的控制下完成，不需要实验员在场，这很好地避免了“聪明的汉斯效应”。实验发现，猴⼦能够以显著⾼于随机的⽔平选出正确的答案，然⽽，他们的正确率似乎存在⼀个难以逾越的瓶颈。在⻓达三年的练习中，本实验所⽤的两只猴⼦都未能表现出正确率升⾼的趋势。其根本的障碍很可能来源于他们不精确的数量感知。
如果猴⼦永远把“4”看成“⼀个最有可能是4，还有可能是3或5，不⼤可能是2或6的数量”，⼜如何奢求他们能够精确地完成加减法呢？作为⼈类，我们显然不会像猴⼦⼀样被⼗以内加减法难住。我们不仅能够以⼏乎100%的正确率完成简单的算数运算，还可以理解更多复杂⽽精确的数学概念。
可是，这并不意味着我们已经完全抛弃了动物脑中的那套模糊、不精确的数学系统——科学家们将这种对数量的模糊感知称为“数感”（number sense）。有许多实验上的证据表明了⼈类“数感”系统的存在，上⽂提到的“延迟匹配到数量任务”即是⼀例。
另⼀个有趣的现象被称为“距离效应”：当⼈类被要求⽐较⼀个两个数字的⼤⼩时，⼈们的反应时间和错误率总是随着两个数量距离的减⼩⽽增加——⽐较71和65的⼤⼩要花费的时间⽐⽐较79和65花费的时间要⻓得多，尽管从理论上，我们只要看到⼗位数字是7就可以直接判断其⽐65更⼤⽽⽆需再⽐较个位。这似乎提示着，我们在⾯对数字时，脑中仍然会激起其作为⼀个“模糊的量”的概念。
继承⾃动物的数感系统，与⼈类独有的精确数学系统相互配合，缺⼀不可，共同铸造了⼈类⾼超的数学能⼒。在罕⻅的情况下，脑部的损伤可能会造成某⼀系统功能的丧失，这样的患者会表现出独特的障碍：丧失精确数学系统的病⼈需要⼏秒钟的时间才能读出数字7或8，但却可以⽴刻判断出8⽐7⼤；⽽失去模糊数感的病⼈难以判断5和6哪个更⼤，却可以⽴刻计算出5×6=30。
近年来，⼈们通过脑电图（EEG）、功能磁共振成像（fMRI）等脑成像⽅法，逐步揭示了数学能⼒背后的神经机制。在⼈类学习和成⻓的过程中，与数学相关的神经基础也在不断地成熟完善，⼈们甚⾄可以根据脑成像的结果预测⼉童的数学成绩。也许有⼀天，对数学神经基础的认识将帮助⼈类（尤其是那些⾯临数学学习困难的孩⼦们）更好地掌握数学。