我们生活在10维宇宙之中？发明于19世纪，已经被我们遗忘的一种数系或许能对这个问题作出最简洁的解释。
撰文 约翰·C·巴茨（John C. Baez）
约翰·韦尔塔（John Huerta）
翻译 庞玮
我们每个人小时候都学过数字，一开始是数数，接下来学加、减、乘、除，但对数学家而言，我们在学校里所学的数字只是众多数系中的一种，除此之外还有其他一些数系，对我们理解几何与物理至关重要。八元数就是这些奇怪数系中的一种，自它在1843年被发明出来后，一直都默默无闻，直到最近几十年间，人们才发现它在弦论中大有用武之地。毫不夸张地说，如果弦论真的是对宇宙的正确描述，那八元数就能解释为何宇宙具有目前的维度。
八元数并不是第一个可以帮助我们深入理解宇宙的纯数学概念，也不是首个找到实际应用的非常规数系。要明白个中缘由，我们先来看看最简单的数系之一，也就是我们都学过的那种，数学家管它们叫实数。所有实数的集合构成一条直线，所以我们说实数集是一维的。反过来说也行：我们将直线看作一维，是因为确定直线上的任何一个点只需要一个实数。
在16世纪之前，实数是人类掌握的唯一数系，在接踵而至的文艺复兴中，胸怀大志的数学家试图征服更复杂的方程，甚至瞄准最困难的问题相互挑衅展开竞赛。-1的平方根就是此时期意大利数学家、物理学家、赌徒和占星术士杰罗拉莫·卡丹诺手中的秘密武器。
虽然他对如何解释这个神秘的数字也一无所知，但与其他人的谨小慎微不同，卡丹诺在通常只涉及实数的长篇计算中，毫无顾忌地信手使用这个小把戏，他唯一知道的是这样做能得到正确的结果。
1835年，刚过而立之年的数学和物理学家威廉·若万·哈密顿发现了如何将一个复数a + bi当作一对实数来处理。
当时的数学家普遍采用阿尔冈的方法将复数写成a + bi的形式，但哈密顿注意到复数可以被看作是两个实数a和b的另一种写法，想通了这一点就可以用一对实数来表示复数，比如a + bi可以记为（a，b）。这种表示方法的好处是复数的加减运算变得很直观，只须将对应位置上的实数相加减就可以了，比如（a，b）+（c，d）结果就是（a + c，b + d）。
哈密顿还找到了该表示中复数乘除法的运算规则，虽然稍微复杂一些，但它保持了阿尔冈所发现的复数漂亮的几何意义。
就这样，哈密顿为对应二维平面几何的复数发明了一套代数运算体系，接着他试图为形如（a，b，c）的三元数组也建立一套这样的代数运算，这样就可以将三维几何与代数联系起来，为此他苦苦追寻多年却劳而无功。哈密顿当时想要寻找的是一个可以进行加、减、乘、除运算的三元数系，这其中除法是最困难的。
数学家将可以进行除法运算的数系称为可除代数，他们一直对可除代数有一个猜测，但直到1958年才由三位数学家证明这个猜测是个美妙的事实，即只有在一维（实数），二维（复数），四维和八维下才存在可除代数。哈密顿想要成功，除非彻头彻尾地改变数学的规则。
哈密顿的山穷水复在1843年10月16日到来，这一天他与妻子沿着都柏林的皇家运河散步，准备去爱尔兰皇家科学院参加会议，突然之间他灵光一现，要描述三维空间中的转动，仅用三个数是不够的，他还需要第四个数，这样形成一个四维的集合，其中的元素都形如a + bi + cj + dk，称为四元数，其中i，j，k表示三个独立的-1的平方根。
哈密顿后来写到：“彼时彼处，我突然感觉脑海中盘旋的思想电流闭合了，由此激发出来的火花就是i，j，k之间需要满足的等式，这些等式形式是那么完整，我需要做的只是将它们照录下来而已。”
接下来的故事中，八元数被发现与7维和8维几何有密切联系，我们能用八元数乘法来描述7维和8维空间中的转动，不过后来者虽然知道了这点，也仅仅将它看作纯粹的智力游戏，这样的状况持续了一个多世纪，我们是随着现代粒子物理学，尤其是弦论的发展，才发现八元数如何对现实世界产生作用。
在上世纪七八十年代，理论物理学家们发展出一个惊人的美丽想法，称为超对称。
超对称断言在最基本的层次上，宇宙展现出物质与基本力之间的对称性：每种物质粒子都有一个伴随粒子，用以传递相应的基本力；而每一种传递子亦有一个物质粒子同伴。超对称还包括不变性要求，即如果我们将物质粒子与传递粒子交换，物理定律保持不变。
设想有一面奇怪的镜子，镜中的宇宙不仅左右调转，而且所有传递粒子都换成相应的物质粒子，反之亦然，如果超对称是正确的，也就是说如果超对称是对我们这个宇宙的真实描述，那这面镜子中的宇宙将和我们的宇宙完全一样。
参照弦论中我们给超对称维度加上两个额外维度，对膜而言我们就要加上三个，所以在膜宇宙中能自然产生超对称的维度是4、5、7和11。正如在弦论中一样，这里又有个惊喜在等着我们：研究者告诉我们M-理论成立的维度刚好是11维，这似乎暗示它其实也建立在八元数上。不过有人说M也可以解释成“神秘”，因为眼下还没人完全理解M-理论，更谈不上写出它的基本方程，所以它的真容还在云山雾罩之中。
这里我们要强调一下，无论是弦论还是M-理论目前都未能做出任何实验上可进行验证的预言。它们是美丽的梦想，固然美丽但暂时只是梦想。我们生活的宇宙看不出有10维或11维的样子，而且我们也还没看到物质粒子和力传递粒子之间有对称的迹象。欧洲核子研究中心大型强子对撞机的任务之一就是寻找超对称的迹象，但弦论的权威专家之一戴维·格罗斯认为，找到的几率只有50%，质疑者则认为比这还要小，一切都有待时间去评判。
由于不确定是否有超对称，所以奇异八元数究竟是理解宇宙的密钥，还是美丽的数学玩物，它的命运可能还要很长一段时间后才能揭晓。当然，数学美本身就是一种褒奖，但如果真的是八元数编织出宇宙结构，那真可谓锦上添花。无论何时，正如复数及其他无数数学发展所昭示的，这已经不是第一次物理学家在纯数学中觅得如此得心应手的美丽发现。