德国思想家莱布尼兹是有史以来最伟大的思想家之一，以下是他的事迹简单。他与牛顿分别独立发现了微积分，后世使用的微积分主要使用莱布尼兹的符号；他提出了通用计算的思路，使用计算来代替思考。他的这种想法，对于后来数理逻辑、计算机科学和分析哲学有重大影响；他提出了可能世界思想。如果某世界与现有世界并不矛盾，那就是可能的世界。
他的可能世界思想后来被克里普克发展为可能世界语义，广泛用于非经典逻辑的语义解释；他还系统提出了二进制，这是现代计算机使用的内部语言。他曾经说过：“从虚无创造万有，用一就够了”。晚年莱布尼兹，主要致力于信仰事业。我们常常就此批评莱布尼兹，就像我们也常常批评帕斯卡的信仰，牛顿的信仰，哥德尔的信仰……有时候我也糊涂了，到底是这些伟大的思想家集体糊涂了，还是我一个人糊涂了？
弗雷格对于我们也许是陌生的名字，然而弗雷格是上世纪最伟大的思想家之一。他的《概念语言》一书，系统提出了现代逻辑，用严格清晰的数学符号来研究逻辑学。因此，他开创的现代逻辑学又称为数理逻辑，或符号逻辑。为什么说他是上世纪最伟大的思想家之一，这一点没有夸张。他开创的数理逻辑对上世纪的科学和哲学两大领域都有重大影响。
一方面，顺着罗素，希尔伯特，哥德尔，计算机之父图灵机，人工智能之父麦卡锡这个方向，他开创的数理逻辑思想被广泛用到计算机科学，被广泛用到人工智能和程序证明。另一方面，顺着罗素，维特根斯坦，卡尔纳普，奎因，普特南这个方向，他开创的数理逻辑及概念分析法发展成分析哲学。而分析哲学，是当前西方哲学的主流方向之一。罗素的头衔很多，哲学家，数学家，逻辑学家，社会活动家，文学家。
他在逻辑学方面的成就，主要是与他的老师怀特海编写了《数学原理》，使得弗雷格开创的数理逻辑更加系统更加完善。如果说弗雷格是数理逻辑的开山祖师，那么罗素就是数理逻辑的集大成者。罗素继续弗雷格的逻辑主义，想把数学归结到逻辑上。然后，他自己提出的罗素悖论使这一努力失败。
当弗雷格收到罗素发来的关于罗素悖论的信，他写道：“对一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他的工作完成时，却发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。”虽然逻辑主义失败了，但没关系，“柳暗花明又一村”，人类历史又翻开了新的篇章。数学基础出现了矛盾，以确定性追求为己任的数学家如何受得了。集合论的矛盾弥漫开来，有人也怀疑算术是否也有矛盾。
为了捍卫古典数学的尊严，作为当时数学界的领袖，希尔伯特当仁不让，接过了这个挑战。继1900在数学家大会上提出著名的希尔伯特23个问题后，1904年，希尔伯特在数学家大会上又提出一个证明算术无矛盾性的思路。这个思路也称为形式主义纲领，它的核心思想是将算术表达为一种形式系统或称公理系统，然后用有穷步骤证明该系统的无矛盾性。
希尔伯特的目的是试图对形式系统的无矛盾性给出让大家都可以接受的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。对于这个纲领，希尔伯特信心十足，在哥尼斯堡演讲中说出了上面的话。哥德尔研究了希尔伯特纲领，给出否定的答案，宣告希尔伯特纲领的失败。
1930年提出的哥德尔第二不完备性说，任何包含一阶算术的形式系统，该形式系统的无矛盾性，在该形式系统内无法通过有穷的步骤得到证明。在定理的证明中，哥德尔还提出了很多有用的理论，比如如何把符号编码为自然数，还有使用递归函数来研究有穷证明的能力范围。哥德尔的工作揭示了有些问题是不可通过有限的步骤得以证明的，那么什么问题是可以通过有限的步骤证明的？
沿着这个问题，哥德尔的很多工作，被应用到了可计算性的研究。什么是可以有穷证明的，从可计算性的角度来说对应于，什么是可以计算的。
哥德尔不完备定理出世后，在剑桥大学的图灵设想：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能够解决所有可以解决的数学问题。以上机器就是他提出来的图灵机。图灵机可以计算的问题，就称为图灵机可计算。哥德尔提出不完备性定理之后，数学家们广泛研究了我们平常理解的可计算到底意味着什么。图灵机出来后，根据丘奇图灵命题，所谓直觉的可计算性，就被定义为图灵机可计算。
回顾上面的历史，发现一个有趣的现象：德国长于概念分析，英国人有经验主义传统，美国人则有实用主义传统，这三者结合起来，所向披靡呀。