陈省身，浙江嘉兴人，中国近代最有成就的数学家之一，在整个数学史上也有崇高地位。杨振宁先生有一句诗“千古寸心事，欧高黎嘉陈”，点出历史上五位最重要的几何学家，第五位就是陈省身。国际数学家联盟设立的四个重要奖项中，有一个陈省身奖，就以陈省身命名，与颁发给年轻人的菲尔兹奖不同，它是对数学家终身成就的肯定。以他的名字命名，本身就是国际数学界对陈省身先生一生卓越成就的高度认可。
本文是陈省身1999年9月24日在复旦大学求实基金会科学奖的颁奖仪式上所作的学术报告，这是复旦大学杨武之讲座的第一讲。演讲的题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作，但是很抱歉的一点是，当你们听完演讲后，不会得到很简单的答案，因为这是一门广泛而伟大的学问。最近几十年来，几何学有非常重要的发展，跟许多其它的科学不但有关系、有作用，而且是基本的因素。
讲到几何学，我们第一个想到的是欧几里得。
在世界出版物中，除了基督教的《圣经》之外，欧几里德的《几何原本》大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译，译者是徐光启与利玛窦。徐光启（1562-1633）是中国了不得的学问家，利玛窦（M. Ricci）是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章，中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词——例如平行线、三角形、圆周等这类名词，我想都是徐光启翻译的。
当时没有把全书翻译完，差不多只翻译了半本，另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。
推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是笛卡儿（1596-1650），他是法国哲学家，不是专门研究数学的。他用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。笛卡尔当时不见得觉得他这贡献是很伟大的，所以他的几何论文是他的哲学引里面最后的一个附录，附属于他的哲学的。
笛卡尔发现的坐标系，我们大概在中学念解析几何都学到。有一点是这样的，给定一条直线，直线上有一个原点，其它的点由它的距离x来确定，然后经过x沿一定的方向画一条直线，那么y坐标就是在那条直线上从x轴上这个点所经的距离，这就是笛卡儿的坐标，英文叫Cartesian坐标。笛卡儿的两个坐标不是对称的，这是一种非常重要的观念。
笛卡儿用了这个坐标，就发现，我们不一定要用Cartesian坐标，可以用其它坐标，比如极坐标。平面上确定一个点，称为原点，过这点画一条射线，称为极轴。这样平面上的点，一个坐标是这点与原点的距离，另外一个是角度，是这点与原点的联线与极轴的相交的角度，这就是极坐标。
后来大家弄多了的话，就对几何作出了另外一个革命性的贡献，就是说，坐标不一定要有意义。只要每组数能定义一个点，我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。这样就把几何代数化了，几何就变成形式化的东西了。
这个影响非常之大，当然这个影响也不大容易被接受，比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论，特殊相对论是在1908年，而广义相对论是在1915年，前后差了7年。爱因斯坦说，为什么需要7年之久我才能从特殊相对论过渡到广义相对论呢？他说：“因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。”
欧几里得的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分，无穷的观念虽然已经有了，不过不怎么普遍。欧几里得的身世我们知道得很少，只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何原本》大概是当时的一个课本。
几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。
高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国数学家。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。
欧几里得的公理是非常明显的，但是他有一个叫第五公设的有名公理出了问题。这个第五公设讲起来比较长，但简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的话，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不如其它公理这样明显。
非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个，怎么会有两个空间，或者很多个空间呢？当时这是个很严重的社会问题。
非欧几何的发现者，一个是Bolyai，匈牙利人，在1832年；一个是Lobachevski，俄国人，在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯，我们从他的种种著作中知道，他完全清楚，但他没有把它发表成一个结论，因为发表这样一个结论，是会遭到别人反对的。
伪球面，它是由一条无限长的曲线旋转生成，惠更斯曾表明，它具有有限的面积和体积。高斯与黎曼把坐标一般化，使坐标不一定有意义，这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空间有不同的性质呢？
现在对于研究几何的人就产生一个基本问题：你怎样去研究它。这样一个基本的学问现在就叫拓扑学。它是研究整个空间的性质，如什么叫空间的连续性，怎样的两个空间在某个意义上是相同的，等等。黎曼在1854年的演讲，这个在几何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。
黎曼几何应用到广义相对论，是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话，黎曼几何是一个最主要的部分，这个也是从黎曼的演讲开始的。黎曼这篇论文引进的距离这个观念，是一个积分，在数学界一百多年来有了很大的发展。
最近虽然在黎曼几何上有很多发展，非常了不得的发展，但是大家对于一般的情形，黎曼论文的一般情形，即芬斯勒几何，没有做很多贡献。我们这本书有一个小小的成就，就是把近一百年来最近在黎曼几何上的发现，我们把它推广到一般的情形，即黎曼-芬斯勒情形。
我觉得物理学里有很多重要的工作，是物理学家要证明说物理就是几何。牛顿的第二定律说，F=ma，F是力，m是质量，a是加速度，加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量，而力得当然是物理量。
不止是这些，我们可以一直讲下去。我们现在研究的空间叫流形，是一块块空间拼起来的。这个流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能够用方程写下来的话，你一定要把流形线性化。
现在几何不仅应用到物理，也应用到生物学中。讲到DNA的构造，是一个双螺线，双螺线有很多几何，许多几何学家都在研究这个问题。数学比其它科学有利的地方，是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方，进步也是可能的。