正态分布是最常见的连续概率分布，在日常生活和科学研究中都起到重要作用。正态分布的密度函数具有数学美感，但很多人并不知道它是如何得到的，本文介绍两种推导方法。
正态分布公式看起来非常复杂，里面有 、 、 、 ，组合起来非常复杂。在学习时，课本介绍正态分布时就直接给出这个公式，却从来不说明这个概率密度函数是怎么推导来的，来龙去脉是什么。最近看了 3Blue1Brown 关于概率论的系列视频 ，我知道了正态分布曲线公式为什么是这样，我们将在下一章节中推导出这个公式。
正态分布公式怎么来的？
有很多种方法都可以推导出正态分布公式，这里将介绍一种既优雅又直观的推导方式，由天文学家赫歇尔（John Herschel） [5]在 1850 年给出的。3Blue1Brown 的视频 Why π is in the normal distribution (beyond integral tricks) 中详细介绍了这种方式。
不过视频中有一些不够严谨的地方，下面会先介绍视频中的推导方法，然后再介绍严谨的数学分析法。
考虑向一个镖盘投掷飞镖，过镖盘中心作 轴和 轴。每次投掷飞镖都会受到随机因素而偏离目标，故每次飞镖在镖盘的落点 是 维随机变量。假设满足以下 个条件：落点的 轴和 轴坐标是相互独立的；落点的概率密度函数仅与其到原点的距离有关，即分布在空间上具有旋转对称性。
3Blue1Brown Herschel 推导方法 如下图 9 所示，设箭头所示落点区域 的概率密度函数为 ， 表示有 个输入参数，落点的坐标 和 。由条件 我们知道每个落点区域 的概率密度，可以表示为 轴方向上概率密度函数与 轴方向上概率密度函数的乘积，每个方向上的概率密度函数只有对应方向上一个参数。
设 轴方向上概率密度函数为 ， 轴方向上概率密度函数为 ，则有以下公式：又因为条件 我们知道可以通过旋转对称性，可知 轴和 轴方向上概率密度函数相同，所以 。同时落点 距离原点的距离为 ，如下图 10 所示：
更严谨的数学分析法 上一节我们使用了不那么严谨的方法得到了正态分布的概率密度函数，下面我们使用另外一种方法求出正态分布的概率密度函数。由落点分布分布在空间上具有旋转对称性，我们可知 轴和 轴具有相同且连续的概率密度函数。设落点 的概率密度函数为 ， 轴方向上概率密度函数为 ，则 轴方向上的概率密度函数为 ，那么考虑如下图 12 所示的一个充分小的黄色区域 ：
正态分布公式的几何意义 通过 给出的优雅直观方法，仅仅依靠那 个假设条件，我们居然最终求出了正态分布的公式。有没有感觉到数学的美感？最初看到 3Blue1Brown 的这个视频，感觉非常美，正态分布那么复杂的公式居然有这么优雅直观的方式自然而然的出来了！分析正态分布公式，公式中的 意味着空间上的对称性，即点分布距离中心是对称的。
而 的出现意味着取了时间上的极限，而这和中心极限定理（ ） [9]有关，我会在下一篇文章详细解释，敬请期待！