尺规作图初学几何，最令同学们感兴趣的就是尺规作图。尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。只用直尺、圆规可以完成许多作图问题，比如我们在中学时就已熟知的：作已知线段的垂直平分线。以及作已知角的角平分线。稍复杂一点的：作圆内接正六边形。在所有这些问题中，直尺的功能仅仅是作为一个画直线的工具，而不能用以测量或标示出距离。
只用直尺和圆规作图的传统要回溯到古希腊时期，希腊人认为直线和圆是最基本的图形，而直尺和圆规使它们具体化，所以便选择只用这两种工具作图。古希腊三大作图问题古希腊人研究尺规作图，提出了三个著名的尺规作图作图问题：倍立方体：给定立方体的一边，求作另一立方体（的边），使后者体积是前者体积的两倍。三等分角：三等分任意一个角。化圆为方：作一正方形使其与给定的圆面积相等。
问题的提出是自然的，因为这些是古希腊人在解决了一些作图题之后的引伸：以正方形对角线为一边的正方形有两倍于前者的面积，便理所当然地提出相应的倍立方体问题；可以作角平分线，即可以二等分任意角，自然地就想继续搞三等分；化圆为方是古希腊人在求作一定形状的图形使之与给定图形等面积这类问题中的一个典型问题。
基本几何作图首先我们要明确一点：讨论尺规作图问题其实就是在讨论代数问题，因为用尺规作图画出几何图形的过程从某种意义上来说就是作出了某些数量。为什么这么说呢？举一个很简单的例子，如果给定一单位长度的线段，我们用尺规作图能做些什么呢？首先，我们可以在一条射线上顺次截取线段，从而作出所有的（你想作出的）正整数长度的线段。这就是说，所有的（正）整数都是可作的。
用尺规作图作与已知角相等的角也是可以办到的，原理是全等三角形：利用画相等的角，我们就可以继续作出过一点且平行于已知直线的平行线，原理是同位角相等，两直线平行。可作图的数因此，有理数对于有理运算是“封闭”的，即任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是一个有理数。如果一个数集关于这四种有理运算封闭，则称其为一个数域。
讨论完这些，我们再介绍一种全新的作图方法——求平方根，它使得我们冲破了“有理数域”的束缚。如果给定一个线段，则可以按照如图的方法作出半圆和垂线段。根据射影定理，有即这就是说，我们可以利用尺规作出新的无理数，例如，然后再通过“有理”作图，作出所有形如的数，这里的都是有理数。为什么古希腊三大作图问题不可解？有了上面的知识基础，我们便可以理解为什么古希腊三大作图问题是不可解的了。
首先考虑倍立方体问题，如果给定立方体的边长是单位长度1，那么现在就是要作出体积是2的立方体，也就是要求出立方体的边长，使得显然，这个数是，这个无理数不是规矩数，因为它不是通过有限次开平方根得到的。因此，倍立方体不可尺规作图。再来看三等分角问题，先假定在单位圆中作出角，那么这个问题等价的代数问题就是如何由已知一个角的余弦值，求未知量的问题。
应用三倍角公式，可得即这个方程最高次数是3，它的根在一般情况下不是规矩数，但是也有一些特殊情况，比如说，若，则，则原式可因式分解得到解得说明我们可以尺规作图三等分一个平角，只要作出长的线段即可。但是当，时，原方程化为这个三次方程的根不是一个规矩数，故尺规三等分角是不可作的，因此，三等分任意角无法通过尺规作图完成。
最后来看化圆为方问题，取半径为单位长度的圆，其面积是，要使正方形面积和圆一样，那么这个问题就等价于作出长为的线段，这也是不可能的，因为首先就是一个超越数，因此不可能用尺规作图作出。