同学们在学习概率这一章内容时会遇到一个概念——随机事件的独立性。书中对其的解释是：“直观地，如果两个随机事件是否发生互相不影响，就认为它们是独立的。”这时它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即成立。在这里，用“同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积”来定义事件与事件（相互）独立，在数学上是没有任何问题的。但是，该如何理解“是否发生互相不影响”这句话呢？
今天大小吴就和大家来聊聊随机事件的独立性。
在最初学习事件独立性这个概念时，同学们往往会和互斥混淆，互斥指的是两个随机事件没有共同的基本事件，也即这两个事件不可能同时发生。从集合观点看，即两个子集不相交，即满足用韦恩图表示如下（其中为样本空间）：两事件互斥。同学们在此处往往会对此产生某种错误的“联想”：独立没有关联，从而将独立性误解为两事件对应的集合不相交，这实际上是将独立性与互斥两个概念混淆了。
我们可以举出一个简单的例子来说明两者的区别。比如，生一个孩子，现有两事件：孩子是男的，孩子是女的。那么显然，此时事件就是互斥的，这两个事件不可能同时发生。再比如，生两个孩子，也有两事件：第一个孩子是男的，第二个孩子是女的。那么此时事件就是独立的，因为不难理解：第一个孩子的性别和第二个孩子的性别，这两者肯定是互不影响的，而且性别为男或女的概率都为。
现在我们来研究一下，其含义是“生两个孩子，第一个孩子是男的，第二个孩子是女的”。的概率很直观，其实就是：这里，实际上用到了独立性的定义进行计算。在韦恩图中可以有如下表示：两事件独立。实际上，事件还包含了另一种情况（左）：第一个孩子和第二个孩子都是男的。同样地，事件也包含了另一种情况（右）：第一个孩子和第二个孩子都是女的。（当然，还有第四种情况：第一个孩子是女的，第二个孩子是男的。
这种情况也在样本空间中，但它在两个圈之外）我们发现，虽然在这里事件互相独立，但是两者是有交集的，这是区别于互斥事件最重要的一点。
了解了条件概率，我们就可以理解什么是事件的独立性了。上述例子的事件显然不是相互独立的，因为的发生对造成了影响。并且由前述讨论，的概率需用条件概率计算。这让我们联想到两事件相互独立所满足的公式。对照这两个式子，我们能得到一个结论：如果两事件不独立，就一定有。
其实在白球黑球这个例子中，显然是不等于的，其根本原因就在于这个问题一开始就限定了“不放回”的游戏规则。如果说把游戏规则改为“放回”，则情况便截然不同了。由于放回这个机制的存在，每次抽球的概率都是恒定的，永远为。也就是说，在放回的条件下，两事件互不影响，它们便是相互独立的。换句话说，如果两事件相互独立，就一定有。实际上，这便是相互独立事件的本质。从韦恩图来理解，指的是在样本空间所占的比例。
而指的则是在中所占的比例。两事件相互独立便意味着，这两个比例是一致的，形象地说，对于来说，就是的“缩影”。现在你可以理解什么是事件的独立性了吗？