反证法是一种常用的数学证明方法，同学们学习了反证法后会发现很多难以直接证明的命题通过反证法便可以很方便地证明。但是你有没有想过为什么可以用反证法证明命题？其逻辑基础是什么？今天就和大家来聊一聊反证法。
如何使用反证法我国南朝文言志人小说集《世说新语》中曾记载了这样一个故事：“王戎七岁，尝与诸小儿游，见道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之。唯戎不动。人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必为苦李。
”取之信然。”王戎不取道旁李的故事就蕴含了“反证法”的思想。在小王戎的脑海中一定经过了如下思考和推理：假设李子甜树在道旁，李子必被人摘走。而这一结论与“树在道旁而多子”矛盾，因此假设不成立，即得到了“树在道旁而多子，此必为苦李”的结论。
反证法的基本步骤就是通过假设命题若，则的结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即证明了原命题的正确性。很多难以直接证明的命题通过反证法可以得到解决，比如：证明素数有无穷多个。证明是無理数。证明圆内两条非直径的弦不能互相平分。
反证法的逻辑基础现在来回答这个问题：反证法的逻辑基础是什么？
事实上，以普通集合论为基础的经典数学服从真假二值判断，因此其遵从形式逻辑的基本规律：矛盾律（Principle of Contradiction）和排中律（Law of Excluded Middle）。矛盾律指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是真的，至少有一个是假的。如果违背了矛盾律，就会犯“肯定，又肯定非（即否定）”这样“自相矛盾”的逻辑错误。
举个例子，如果我们说“小明是男生”，然后又说“小明不是男生”，前后两者是自相矛盾的判断，这就违背了矛盾律。而排中律的表述与矛盾律正好相反，它指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是假的，至少有一个是真的。该如何理解排中律呢？如果违背了排中律，就会犯“否定，也否定非A”这样“两不可”的逻辑错误。
举个例子，“我不认为小明学习努力，我也不认为小明学习不努力”，那么这个观点就违背了排中律，因为它对两个互相矛盾的判断都进行了否定。矛盾律和排中律一起成为了反证法的逻辑基础。两者缺一不可。
反证法的本质关于反证法，法国数学家阿达玛曾对其内涵进行了非常精准的概括：“反证法表明了：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
可以将阿达玛的话详述如下：“若肯定定理的假设而否定其结论——即作出相反判断——并运用此判断，在正确的逻辑推理下，导出矛盾，（据矛盾律）可知该相反判断为假，（再据排中律）可知原命题为真。”实际上，可以将反证法的过程简要概括为：否定推理否定即从否定结论开始，经过正确的推理，从而达到新的否定（逻辑矛盾）。这即是反证法的本质思想。你现在更加了解反证法了吗？