在平面几何中有一条有趣的结论：任意三角形的垂心H、重心G、外心O三点共线，且满足HG=2GO. 此线由数学家欧拉发现，因此被称为欧拉线。莱昂哈德·欧拉（1707~1783）一个比较方便记忆这个结论的方法是观察特殊情况. 我们可以构造一个直角三角形，则显然垂心与点重合，外心为斜边的中点. 此时欧拉线即为斜边上的中线，显然有. 大数学家欧拉当时是如何发现并证明这个神奇的结论的呢？
今天我们就来追寻大师的足迹，一起探索欧拉线的诞生过程.
欧拉线定理的证明我们暂且将欧拉线定理的发现过程按下不表，让我们先来看一看欧拉在发现这个定理之后是如何巧妙地证明它的. 这个证明被记录在《100个初等数学问题——历史和解》一书中. 如图，在△ABC中，D为BC中点，G为重心. 则有设O为外心，延长OG到H，使GH=2GO，连结AH，则有则有AH=2OG，可知AH//OG，又因为OA=OB=OC，则有同理可得因此，H是垂心，欧拉线定理得证! 欧拉的证明十分简洁巧妙，一切看起来又是那么自然且顺理成章. 然而，欧拉发现欧拉线的过程真如上述证明那般“轻松”吗？
遗憾的是，事实并非如此. 欧拉在上述证明中作出GH=2GO这一步其实是在知道H、G、O三点分线段的比例关系后才对其进行如此构造，而实际上欧拉一开始是并不知道线段的长度关系的.
那么，欧拉到底是如何知道欧拉线的存在的呢？
大家不妨现在准备好纸笔，我们跟着欧拉一起来计算一下. 欧拉线定理的发现过程被记录在《美国数学月刊》Ed Sandifer先生一系列关于欧拉解决问题的文章：How Euler Did It？
其中就有一篇介绍了欧拉线被发现的过程. 起初，欧拉对三角形海伦公式很有兴趣，他想到：三条边既然能够唯一确定一个三角形（及它的面积），那么三角形的相关性质也应该可以由三条边来表示. 进一步地，能否用三边来研究三角形中的一些特殊点呢？
比如三角形的几个重要的点：重心、垂心、内心、外心. 于是，欧拉就运用海伦公式结合当时还没被广泛使用的坐标思想进行了如下的探索：由海伦公式，设a=b=c，则△ABC的面积S可以表示为S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s=(a+b+c)/2. 将此结论记为等式（1），后面我们会反复运用它. 我们先尝试计算垂心H的坐标. 如图，AD、BE分别为边BC、AC上的高. 由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，得到sinC=sqrt(1-cos^2C). 同理sinA=sqrt(1-cos^2A). 又由AD=b*sinC且BE=a*sinA，得到AD=b*sqrt(1-cos^2C)，BE=a*sqrt(1-cos^2A). 运用等式（1），将sinC、sinA代入上式得到AD=b*sqrt((s-b)(s-c)/s)，BE=a*sqrt((s-a)(s-c)/s). 可以得到垂心坐标H(x,y)=((a^2*b+b^2*c+c^2*a)/(2*S),(a^2*c+b^2*a+c^2*b)/(2*S)). 我们再尝试计算重心G的坐标. 如图，点D、E分别为边BC、AC的中点. 点A、B在BC上的投影分别为F、G. 那么GF=(a^2+b^2-c^2)/2a，GE=(a^2+c^2-b^2)/2a. 另一方面有GF+GE=a，可以得到重心坐标G(x,y)=((a*b+b*c+c*a)/(3*S),(a*c+b*a+c*b)/(3*S)). 最后，我们来尝试计算外心O的坐标. 如图，AD、BE是边BC、AC的中垂线，CF是边AB上的高. 则根据之前的推理可知cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab. 由外心的性质可得OA=OB=OC，因此cosA=cosB=cosC. 得到cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab. 可以得到外心坐标O(x,y)=((a^2*b+b^2*c+c^2*a)/(2*S),(a^2*c+b^2*a+c^2*b)/(2*S)). 至此，欧拉通过解析几何的方法用三角形三边边长a、b、c和面积S表示出了三角形的垂心H、重心G、外心O的坐标. 但是现在若仅仅通过观察这三个点的坐标根本无法知道垂心、重心、外心之间有何联系. 欧拉对这三个坐标进行了进一步的研究. 在那个时代还没有发明出向量这样的数学工具. 那么，欧拉唯一能做的，就是凭借其天才般的计算能力进一步研究这些点之间的距离关系. 我们作为后来者重新走欧拉这条艰辛的计算之路，也难免不倒吸一口凉气. 让我们跟随欧拉的脚步开始计算！
欧拉比对这三组结果后发现：因此欧拉得出结论：△ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且HG=2GO. 就这样，欧拉线褪去了它神秘的面纱，被欧拉展现在了世人面前.