在之前的文章中我们讨论了折纸的数学原理，今天让我们一起来看看折纸与圆锥曲线有什么神秘的关联。首先，请你准备一张圆形纸片，然后按如下步骤折纸：设圆心是O，在圆内异于圆心处取一点，记为F。取圆周上任意一点A，把纸片对折，使点A与F重合。把纸片展开，记折痕为l，用水笔划出l。调整点A的位置，重复上述两个步骤，得到更多l。在经过比较多次折纸后，同学们可以思考下面这个问题。
我们借助GeoGebra软件可以更为清晰地看到折痕围成区域的边缘，这更强化了我们的猜想——折痕围成区域的边缘是椭圆！当我们标出其中一条折痕l后，我们又可以直观地看到，l上有且只有一点在椭圆上，也即l是椭圆的切线。我们称所有这些l为椭圆的包络线。我们能不能对其进行证明呢？联想到椭圆的定义：“平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（其中F1F2）的点的轨迹。”在圆中，什么是“常数”呢？
想必你已经找到了问题的线索——圆的半径！只要在上图中连接OF交l于点P即可。接下来的证明是容易的：由l是线段AF的中垂线，可得|OP|=|PF|，所以P的轨迹是以O、F为焦点，长轴长为2a的椭圆。那么，如何证明l是椭圆的切线呢？其实这个问题也是比较容易的，因为这等价于证明l上异于P的任意一点Q在椭圆外就可以了。在上图中，有|OQ|>|OP|=|PF|，即Q一定位于椭圆外，得证！
进一步地，有如下角的关系：由此我们得到了椭圆的光学性质：由椭圆一个焦点发射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一个焦点。在刚刚这个折纸问题中，我们一开始取的点F在圆内，如果将它的位置改为圆外会发生什么呢？你可以先猜想一下！让我们再次借助GeoGebra来看一看。对此的证明也是容易的。根据上一个例子的经验，自然可以想到这与双曲线的定义有关。
当|OF|>|OA|时，当|OF|<|OA|时，即P的轨迹是以O、F为焦点，实轴长为2a的双曲线。与椭圆类似，我们亦可得到双曲线的光学性质：由双曲线一个焦点发射出的光线经双曲线内壁反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点。讨论完椭圆和双曲线，同学们可能会想到：该如何通过折纸“折出”抛物线呢？实际上，这也并不困难。
如图，只要对折纸张让点A与F重合，这样我们得到了折痕与平行线的一系列交点P，其中恒有|OP|=|PF|，即P的轨迹是以O为焦点，l为准线的抛物线。最后，让我们来看一下抛物线的光学性质：由抛物线的焦点发射出的光线，经抛物线内壁反射后，必平行于抛物线的对称轴。