今天我们来研究一个有趣的问题：5个平面最多能把空间分割成几个部分？这个问题的难点在于“最多”二字。如果不研究最多的情况，我们对于这个问题最先能想到的便是5个平面平行的情况，这时5个平面将空间分为了6个部分。但是，你肯定可以意识到这种情况太特殊了，我们只要改变其中一个平面的位置就可以将分割空间的份数增大（事实上，6个部分是最少的）。
一些简单的情况
我们先来把这个问题简化，考虑一些简单的情况：0个、1个、2个、3个平面分别最多能把空间分割成几个部分？显然，0个平面没有分割空间，可以认为是1个部分。如果是1个平面，则结果也是显而易见的，空间被分成了2个部分。如果是2个平面，则应考虑当2个平面相交时，最多可将平面分割成4个部分。如果是3个平面，则最多可将平面分割成8个部分。
时的情况
现在我们来考虑时的情况，尽管这还是有点难以想象，但至少比的时候要简单一些。4个平面分割空间，一个比较简单的模型便是利用一个四面体（及其外部）来理解。我们可以观察到，在这些被分割的空间中，有且只有1个部分是“有限”的，即四面体的内部。这个形状让我们联想到平面上3条一般的直线分割该平面的情况，其中就有1个部分是“有限的”，即3条直线围成的三角形的内部。
一个新的猜想
我们刚刚像自然科学家进行科学研究那样收集了某些数据列在表格中。进一步地，请你观察此表，你能否发现某些规律呢？我们注意到尽管15不是2的自然数次幂，但是15附近的数字好像与它有某些联系：可以想到，这三个数字之间的关系。这是一个令人兴奋的关系，是一个显著的线索！并且我们可以发现这个关系对于表格中已经列出的数字都成立，看起来这并不是偶然的！
预言？证明它！
如果刚刚的猜想是正确的，我们可以将表格继续填写完整。首先，4条直线应当最多能把平面分割成11个部分。然后，5个平面应当最多能把空间分割成26个部分。至此，我们做出了一些预言，可以说我们离真相已经很近了！但是，我们仍然要以数学的角度对其进行严谨地说理与证明。4条直线将平面最多分成11个部分是否正确呢？很显然，如果我们在3条直线的基础上加入1条一般的直线，最终将会产生11个区域。
我们的第一个“预言”经受住了考验，原有的猜想得到了强化。
拓展问题的答案
最后，让我们对这个问题进行更进一步地研究。现在，我们已经知道了我们能否根据递推关系求出和的表达式呢？根据刚刚的分析，之间满足可以得到这个表达式对也成立，故对任意自然数都成立。同理，对于，有这个表达式对也成立，故对任意自然数都成立。这样，我们不仅知道了5个平面最多能把空间分割成26个部分，还可以通过这个公式计算任意多个平面最多分割空间的份数。