不知不觉中，我们又迎来了一年一度的“π日”（以及白色情人节）。2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节。小学数学教材告诉我们，π的小数部分是一个无限不循环小数，不能简单地用分数完全表示。所以值此π日之际，让我们重温小学的数学知识，揭开π的神秘面纱。
π就是人们常说的圆周率，是一个数学常数，定义为圆的周长和其直径的比值。早在远古时期，人类就发现圆的周长与其直径之间有着不可告人的秘密。有出土文物显示，早在古巴比伦时期，当时的几何学家已经将圆周率的值推算到25/8。最早的有记录的严谨算法可以追溯到公元前250年，古希腊数学家阿基米德通过正多边形算法得到了π的下界与上界分别为223/71与22/7，即3.140845< π <3.142857。
在此之后，数学家先后通过割圆术、无穷级数等方法计算π的值。1706年，英国天文学家约翰·梅钦已经可以利用格雷果里-莱布尼茨级数产生的公式计算到π的第100位小数。同样在这一年，威廉·琼斯在《新数学导论》中第一个将π作为圆周率的专属符号，但真正让各国数学家接受这一设定的还要归功于莱昂哈德·欧拉。1736年，欧拉在其《力学》一书中开始使用符号“π”，此后数学家们纷纷效仿。
特别地，π的值为3.1415926535897......，不仅是一个无理数（也就是说π是无限不循环小数），同时也是一个超越数（所谓“超越数”，是指不满足任何整系数多项式方程的实数的数）。“超越数”一词出自欧拉1748年的评论：“它们超越代数方法所及的范围之外。”但直到1844年，其存在性才被法国数学家刘维尔证明。
说到π的计算，就不得不提大名鼎鼎的“割圆术”。约公元265年，数学家刘徽创立了割圆术，用正3072边形计算出π的数值为3.1416。之后祖冲之在公元480年利用割圆术计算正12288边形的边长，得到圆周率约等于355/113（即密率）。在之后的八百年内，这都是准确度最高的π估计值。
利用割圆法计算圆周率虽然思路比较简单，但在计算上还是比较繁琐，尤其是过去的数学家不像小编这样可以借助Mathematica计算。至今利用多边形计算π最准确的结果是奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格在1630年得到的。为此格林伯格利用正10的40次方（也就是1后面40个0）边形，计算得到π的第38位小数。为此，新的思路也就应运而生。
接下来介绍的方法就来自韦达、沃利斯和莱布尼茨三位大神。韦达给出的其实并不是无穷级数，而是无穷乘积。一般认为，韦达的这项工作是欧洲最早的有关无穷项圆周率的公式。虽然小编暂时没有考证到韦达最初是如何完成这项证明的，不过利用我们中学的数学知识基本可以完成证明。
沃利斯乘积，又称沃利斯公式，由英国数学家约翰·沃利斯于1655年发现。要严格证明这个等式步骤有些繁琐，所以我们借助欧拉处理巴塞尔问题时使用的技巧来证明这一等式。
上面提到的两个方法之所以比较有名，主要是因为提出的时间比较早。在实际计算过程中，人们更倾向于使用上面这个公式。它是由莱布尼茨于1674年发现，被称为格雷果里-莱布尼茨公式。不过有的小伙伴已经发现，这其实就是arctan函数的麦克劳林展开。由于太过于出名，相信大家已经烂熟于心，所以这里就不过多介绍公式的证明了。当x取1时，arctan函数恰好等于π/4，所以比起以往的算法更为简单。
不过特别提醒想要亲自计算的同学，虽然格雷果里-莱布尼茨公式看起来计算简洁，但其收敛速度非常慢，因此现在基本不会用此公式来计算圆周率。这里推荐一个印度传奇数学家拉马努金给出的公式。