局域实在论与贝尔不等式
爱因斯坦以及两位年轻同事波多尔斯基和罗森发现量子纠缠与局域实在论的冲突，认为量子力学不完备。意思是，除了量子力学中的量子态之外，物理系统还存在额外的变量，可以刻画系统的准确状态。这些额外的变量叫作隐变量，它们代表了所谓的实在论。如果一个代替量子力学的理论包含隐变量，它就叫作隐变量理论。如果这个理论还满足局域性，就叫局域隐变量理论，或者局域实在论。
在EPR论文之前，1931年，冯诺伊曼就在数学上证明过隐变量不存在。在EPR论文之后，1950到1960年代有一些关于隐变量理论的讨论，特别是玻姆的一系列工作。1964年贝尔指出，冯诺伊曼的证明并不成立。1964年，贝尔又提出，局域实在论与量子力学是矛盾的，他发表了一个不等式，是任何局域隐变量理论都应该满足的不等式。
后来所有这一类的不等式都叫贝尔不等式，是关于两个子系统的测量结果的关联，每个子系统由一个局域的观察者对之进行测量。用局域隐变量理论计算各种测量结果的关联，其结果满足贝尔不等式，而在量子力学中，如果这两个子系统用某些量子纠缠态描述，那么根据量子力学计算的结果是违反贝尔不等式的。
贝尔-CHSH不等式与实验
1969年，克劳泽、霍恩、西蒙尼和霍尔特推广了贝尔的不等式，他们推广后的不等式通常称为CHSH或者Bell-CHSH不等式。Bell-CHSH不等式更适合实际情况，可以在现实的实验中检验。延续上面对贝尔不等式的讨论。考虑A(a,λ)[B(b,λ)+B(b’,λ)]+A(a’,λ)[B(b,λ)-B(b’,λ)]。
它肯定等于±2，因为B(b,λ)+B(b’,λ)与B(b,λ)-B(b’,λ)中必然有一个等于±2，一个等于0。由此得到S=P(a,b)+P(a,b’)+P(a’,b)-P(a’,b’)满足–2≤S≤2。这就是Bell-CHSH不等式。而量子力学违反它。
阿斯佩实验
1981至1982年，阿斯佩与合作者格朗吉耶，罗歇和达利巴尔做了3个实验，以高精度观察到了对Bell-CHSH不等式的违反，在很大程度上满足局域性要求。在第一个实验中，在发生级联过程前，通过两套激光，用双光子吸收直接将电子激发到，这比以前通过有效得多。在第二个实验中，用双通道偏振器进行测量，得到很好的统计和很大的对贝尔不等式的违反，精度是几十个标准偏差。
后续工作
在关于贝尔不等式的实验中，还长期存在“探测漏洞”。因为被探测到的纠缠粒子只是最初产生的纠缠对中的一部分，有多少被探测到与实验装置有关。在公平取样的前提下，实验上得到的统计分析才可以用来检验贝尔不等式。但是探测器的效率是有限的，如果探测效率不够高，就可能做不到公平取样，这就是探测漏洞。要补上探测漏洞，保证公平取样，必须满足这样的条件：当一边测量到光子时，另一边也探测到光子的概率大于2/3。
2001年和2008年的离子实验补上了探测漏洞。2013年，塞林格组和Kwiat组在光子实验中也补上探测漏洞。2015年，有几个实验都同时补上局域性漏洞和探测漏洞，塞林格组和NIST的Shalm组都用了可以快速改变的偏振片和高效率的光子探测器。