将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。小学所学的图形面积、体积的计算，实际上是与积分世界相连通的。积分并不是高中教材中突然半路杀出的“程咬金”，初等教育中相关内容的学习，已经为迈入积分世界做了充分的热身。
从历史上来看，积分比微分要更早出现。积分法的起源是“测量图形的大小”。古时候图形长度、面积、体积的计算方法，通过口传心授得以流传，经过历代人的智慧的锤炼，进而发展成为现在的积分法。探寻积分法诞生的历史，大致可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德时代，在计算抛物线和直线围成的图形面积问题上，已经出现了与现在积分法十分相似的“穷举法”。积分的历史，还真是悠久。
总之，从积分出现到微分诞生，至少有长达1300年的间隔。积分之所以会较早出现，是因为人类需要把握那些可见的东西，例如计算物体的面积、体积等。初等教育中的图形计算，通常只针对长方形、圆形等规规矩矩的图形。而现实情况中，这些知识往往难以直接去应用。这是因为，现实世界中存在的物质，并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反，那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。
所以，对人类而言，测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。
如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法，人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分，无论多么奇怪的形状，只要下功夫就能够计算出结果，这真是巨大的进步。
所有图形都与长方形相通。图形的种类纷繁多样，其中面积计算最为简单的就是“长方形”了。掌握长方形面积的计算方法后，就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说，如果不知道长方形面积的计算方法，也就无法计算三角形的面积。这是因为，三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。
积分的要领：将图形看作小长方形的组合。在小学算术课上，大家有没有做过下面这样的事情呢？用圆规在方格纸上画一个圆，然后数出圆中方格的个数。之后，再画几个大小不同的圆，并数出这些圆中方格的个数。这项作业实际上与圆的面积公式相关。圆的面积公式是“半径×半径×3.14”，其中的3.14是圆周率的近似值，而“尝试数方格的个数”就是一种讲解圆周率推导的方法。
计算圆的面积时，小学中采用的方法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简单，就是因为方格纸的方格是正方形。求圆的面积，要领是精细地划分圆。也就是说，划分的形状应该不限于正方形。因此，我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。尝试把圆分成细长的短条，也就是长方形的组合。
我们将短条的宽度不断缩小，然后尝试计算圆的面积。为了便于之后的计算，假设圆的半径为1 cm。
如果在这个圆的内部排列短条并计算其总面积，结果会怎么样呢？在这里，设短条的条数为N。用直径2（半径为1，直径是半径的2倍，所以直径为2）除以短条的条数（N），就能够得出每一条短条的宽度Δx。也就是说，Δx是宽度为Δx的短条的面积总和，在短条条数（N）增加时会如何变化呢？我们来实际确认一下。逐条计算不同条数下所有短条的总面积很麻烦，不过使用计算机的话可以一下子解决，结果如表1所示。