晚清高数课本长什么样？咸丰九年李善兰翻译的微积分课本大致上看起来是附图中这样。天地甲乙这些就是xyz，丄丅是加减号，彳和禾是微积分号（分别取自微积二字的偏旁），讷是ln（似乎是因为natural log所以翻译成讷）。另外所有的分数都是分母在上，跟今天相反。李善兰也太辛苦了，在没有现代数学符号的情况下硬是创造出了一整套用汉字写微积分算式的土办法……
李善兰是近代著名的数学家、天文学家、力学家和植物学家。他为了使先进的西方近代科学能在我国早日传播，不遗余力，克服了重重困难，学贯中西，作出了很大贡献。其多部译作弥补了我国数学在某方面的空白。李善兰创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式。这是李善兰也是我国19世纪数学界取得的最重大的成就。李善兰是继梅文鼎之后清代数学史上的又一杰出代表。
李善兰从小就喜欢数学，而且勤于思考，常把身边的事物和数学联系起来。有一天，李善兰随父亲到海宁城里一位大绅士家做客，看到墙上挂着一幅《百鸟归巢》图，画家是当时很有名的花鸟画高手，在他生花妙笔的点染下，使看画的人仿佛闻到了花香、听到了鸟的叫声。画的右上角还有一首题画诗，上面写道：“一只过了又一只，3、4、5、6、7、8只。凤凰何少雀何多，啄尽人间千万石。”李善兰看到这幅画后，心中也顿然一动。
题目是《百鸟归巢》，可全诗却没有百字，只有这几个数字，好像是题诗人的有意安排，但究竟有什么深藏的机密呢？他看着这些数字想了又想，当时他也没有想明白。
1852年，李善兰离家来到上海的墨海书馆。墨海书馆是1843年为翻译西方书籍由英国传教士麦都思开设的，它也是西方传教士与我国知识分子联系的一条渠道。李善兰在那里结识了英国传教士伟烈亚力和艾约瑟。当时墨海书馆正在物色能与传教士协作翻译的外语人才。
李善兰的到来使他们十分高兴，但又不甚放心，于是，他们拿出西方最艰深的算题来考李善兰，结果都被李善兰一一作了解答，得到传教士们的赞赏。从此以后，李善兰开始了译著西方科学著作的生涯。
李善兰翻译的第一部著作是《几何原本》后9卷，由于他不通外文，因此不得不依靠传教士们的帮助。《几何原本》的整个翻译工作都是由伟烈亚力口述，由李善兰笔录的。其实这并非容易，因为西方的数学思想与我国传统的数学思想很不一致，表达方式也大相径庭。虽然说是笔录，但在实际上却是对伟烈亚力口述的再翻译。就如伟烈亚力所说，正是由于李善兰“精于数学”，才能对书中的意思表达得明白无误，恰到好处。
李善兰的著作将近代数学思想运用于解决我国传统课题之中，取得了出色的成就。李善兰创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程。他创造的“尖锥求积术”，相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则。他用“分离元数法”独立地得出了二项式平方根的幂级数展开式结合“尖锥求积术”，得到了圆周率的无穷级数表达式。
李善兰在我国数学史上占有特殊的地位，其重要性在于，他处于我国传统数学的结尾时期，以其传播西方科学文化的热情，为我国传统数学融入、统一于世界数学之中作出了突出的贡献。1868年，李善兰走马上任北京同文馆“天文算学馆”（相当于今大学数学系）总教习（相当于今天的教授）。因此，他是我国第一位数学教授。他一生自学、教书、著作、翻译，晚年又教书，直到临终。他所教的学生，不少成为名家学者。
李善兰重视古算实际应用的传统，曾用相似勾股形对应边成比例的原理，测算过东山的高度。又如他研究天文学，非常重视实地观察天象与实地测量，他的经学老师陈奂在《师友渊源记》中说他：“孰刁九数之术，常立表线，用长短式节候以测日景，便易稽考。”余杼木在《白盦诗话》中说他：“夜尝露坐山顶，以测象纬躔次。”李善兰生命不息，科研不止。如1874年在京中风后，行动很不方便，“惮于行远，咫尺之遥，须人扶掖”。
病稍好一点，便又开始进行教学与研究工作，又着了《级数勾股》二卷，直到1882年病故才停止工作。