力学的几何化

力学的几何化

从19世纪开始，力学和物理中使用的几何学的语言越来越多，或者说力学和物理规律用几何语言来表述。这种趋势被称为物理的几何化。

力学是整个自然科学最早精确化的学科。力学是研究物质在空间运动的学科，所以力学尤其是和几何学有着不可分割的联系。也可以说，力学是几何化最早最深入的学科，它是随着历史发展逐步深入的。

从阿基米德到哥白尼、斯梯芬时代，力学的研究内容主要是静力学和天体的圆运动。在几何方面的主要工具是欧氏几何，相应的计算工具是常量的代数运算。

从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。

从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学的主要研究内容是约束运动。在几何方面引进了n维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，成为流形或黎曼几何。而在分析方面引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法。拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。

在19世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞加莱与李亚普诺夫为代表的动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。

事实上，力学与物理的每一次认识的进步，都伴随着人们对于空间的认识的飞跃和拓广，于是人们很自然地把所研究的物理对象的一个系统的状态看作一种空间中的一个点，一种变化过程可以看作点在空间运动的轨迹。因之，力学与物理便逐渐变为一种扩张了的几何。

由于现代物理，如量子力学、相对论和场论的几何化的问题，已经有许多专著介绍，本文仅限于对经典力学的几何化的几个重要方面进行讨论，作为一个入门的导引，大致涉及对偶、动力学几何、变换与守恒。