印度裔传奇统计学家C. R. Rao于2023年8⽉22⽇去世。他在1987年拉⻢努⾦诞⾠100周年活动中，做了三次关于统计历史和发展的演讲，⽽每次演讲前都会提到拉⻢努⾦的⽣平和⼯作。这些演讲最后汇集成他的名作《统计与真理：怎么样运⽤偶然性》，并把这篇拉⻢努⾦的回忆放在附录，以纪念这位伟⼤的印度天才数学家。
C. R. Rao被邀请为纪念拉⻢努⾦讲座的演讲者，我感到这是莫⼤的荣誉。
我⾮常⾼兴地接受了这个邀请，特别还因为拉⻢努⾦的⼀⽣⼀直是激励我那个时代的学⽣们的⼀个伟⼤的源泉。正值这个伟⼤的天才诞⽣100周年，我们举⾏纪念活动有着多⽅⾯的深远意义。它提醒我们，始于发现基础的零和负数的印度数学传统依然存在。它也提醒年轻⼀代：他们能通过创造性的思维来丰富⾃⼰的⼈⽣。
最后，我希望通过纪念活动能产⽣全国性的影响，让公众认识到数学的重要性，认识到数学是科学和艺术进步的⼀个关键因素，也提醒我们应尽所有的努⼒在我国⿎励数学学习和数学研究。
1986年，美国总统宣布每年4⽉14⽇-4⽉20⽇为全国数学认识周，⽬的是让美国学⽣能保持学习数学的热情。苏联⼈造卫星的幽灵仍然在美国上空徘徊，任何忽视数学的倾向会被认为是对国家科学和技术进步的阻碍。
⽐起宣告全国数学认识周来说，在印度我们更需要的是，公开承认我们还没有认识到我们的数学是多么薄弱。让我们通过纪念拉⻢努⾦诞⾠100周年来促进印度数学的发展。我们不应让世⼈说：印度的数学从零开始，也以零结束。
因为拉⻢努⾦的⼀⽣与⼯作和我的演讲主题有关，我想借此机会介绍⼀些他的情况。拉⻢努⾦的出现如同数学太空中的⼀颗流星，划过短暂的⼈⽣，突然消失于他⽣命32岁那个时刻。
在这个过程中，他把印度放进了现代数学的版图。拉⻢努⾦的数学贡献在很多领域内是深远的、永恒的，他是世界上最伟⼤的数学家之⼀。拉⻢努⾦并没有像通常的数学家那样去学习数学，⽽是发现和创造了数学。这使得他成为⼀个现象、谜⼀样的天才，⽽他的创作过程犹如⼀种虚构、⼀个神话。
拉⻢努⾦去世时留下了⼀份奇怪且罕⻅的遗产：写在三个笔记本和⼀些纸⽚上的约4000个公式。
假设拉⻢努⾦的研究时间为12年，则他每⼀天就发现了⼀个新的公式或新的定理。这是任何⼀个从事创造性活动的⼈不能与之相⽐的。这些并不是通常的定理，它们中的每⼀个都是产⽣⼀个全新的理论的核⼼。这些公式和定理并不是凭空想像出来的⼀连串孤⽴的魔术般的公式，有的⾃身对今天的数学研究仍有深远的影响。
更进⼀步说，在理论物理中从宇宙论的超凡理论到复杂分⼦系统的统计⼒学，这些公式和定理在发展新概念⽅⾯同样具有深远的影响。
1976年⼈们在剑桥三⼀学院的图书馆⾥，发现了他在健康逐渐衰弱时，留在130⻚没有编号的⼿写稿上的⼯作——这是他⼈⽣最后⼀年完成的。仅仅是在《补遗杂记》中给出的结果，已经被认为“等价于⼀个伟⼤的数学家⼀⽣的⼯作”了。
威斯康星⼤学的阿斯克教授在评述拉⻢努⾦的贡献的独创性、深远性和永久性时说道：他的⼯作乍⼀看来⼏乎是不可预测的。当了解其内容以后，仍可以保守地断⾔他的⼯作所涉及到的⼤部分内容，是任何⽣活在当今世纪的⼈不可能再发现的。⽽且，拉⻢努⾦发现的某些公式，⾄今没有⼈能理解或证明。我们恐怕永远不会了解拉⻢努⾦是如何发现这些公式的。
要理解拉⻢努⾦的创造性是困难的；在科学研究或艺术创作的纪要中不存在相似的记载。
拉⻢努⾦发现的能⽀配整数无限集合的神秘定律和相关的关系，犹如⼀个科学家试图发现宇宙中隐藏的控制⾃然界事物的法则⼀样，这是⼏乎让任何⼀个科学家都感到敬畏和头疼的。让我们来看⼀看拉⻢努⾦在临去世之前的1919年所做的关于函数⼀个猜想：如果⼀个整数可表为与顺序⽆关的⼏个⾮负整数的和，则可定义的组合形式为。
这个公式隐含着伟⼤的思想，⽽且这个结果的形式是⼀个美丽的发现，因为⼀个世纪以来，在椭圆函数或模函数的一般理论中没有产⽣任何这类的结果。另⼀个印度数学家乔拉证明这个猜想是错的，因为当时它不成⽴。由阿特⾦证明，上述公式仅需稍加修正：即公式中第⼆⾏7的指数换为。
如果拉⻢努⾦利⽤数学推导，或许他可以得到正确的结果，但他没有得到正确公式这件事相对来说是不重要的；他的想象形成这样性质的结构，证实了这个发现背后他的思维过程⽆法解释。
⼀个⼈如何得到⼀个卓越的概念呢？需要做什么样的准备才能让头脑变得有创造⼒？⼀位天才是天⽣的、还是后天造就的？或许这些问题并没有明确的答案。然⽽，即便有答案，我们恐怕也不能解释拉⻢努⾦的⼤脑⾥为何能迅速地产⽣如此众多的卓越的想法。
更使⼈感兴趣的是，因为拉⻢努⾦没有接受过正规的⾼等数学教育，从来没有着⼿过数学研究，也并不知道现代数学中研究问题的领域或⽅向。他叙述定理⽽没有给出证明，也没有指明动机。拉⻢努⾦⽆法解释他如何得到这些结果。他过去常说这些公式是拿摩卡⼥神在梦中赐给他的。他常常⼀起床便记录下这些结果并迅速地验证它们，尽管有时并不能给出严密的证明。许多拉⻢努⾦陈述过的定理被证明是正确的。创造性是在潜意识层次上产⽣的吗？
⻢哈拉诺⽐斯教授与拉⻢努⾦当年同期在英国剑桥。他总是讲述有关拉⻢努⾦的轶事，这些轶事由冉⽢纳让记录在《拉⻢努⾦，普通⼈与数学家》这本传记中了。这⾥我要引⽤⼀则冉⽢纳让书中记载的轶事——正是由⻢哈拉诺⽐斯教授收集到的。⼀次，我去他（拉⻢努⾦）的房间。那时正是第⼀次世界⼤战刚刚开始不久，我⼿⾥拿着⼀本⽉刊《海滨杂志》，那本杂志当时总登载难题让读者解答。
拉⻢努⾦正在炉⼦上的锅⾥搅动着什么，准备我们的午饭。我靠着⼀张桌⼦坐下，翻阅着杂志。⼀道有关两个数的关系的问题引起了我的兴趣。问题的具体细节已经记不起来了，但我记得问题的类型。两个英国官员住在⼀条⼤街上两套不同的房⼦⾥，他们在战争中丧⽣；他们房⼦的⻔牌号数之间有某种特殊的关系，问题是求出这些数。这个问题并不很难。⽤反复试验法，我⼏分钟就得到了答案。我说（开玩笑地）：现在考你⼀个问题。
拉⻢努⾦：告诉我什么问题。（⼀边继续搅动锅。）我读了《海滨杂志》上登载的问题。拉⻢努⾦：请记下答案。（他给出了⼀个连分数。）第⼀项是我得到的答案。其余各项就像街上的⻔牌号数无限增⼤⼀样，表为逐渐增⼤的具有同样关系的两个数之间的逐次解。我感到⾮常惊奇就问到：“你在⼀瞬间就得到这个答案了吗？”拉⻢努⾦：当我听到问题时，即刻清楚地知道它的解显然是⼀个连分数；我就想：“这是⼀个什么样的连分数呢？
”然后答案就出来了。就这么简单。
从冉⽢纳让的记载⾥我们知道，拉⻢努⾦12岁时表现出了对数学的兴趣。据说当时拉⻢努⾦曾经问他在昆巴库纳市区⾼级中学⾼年级班学习的⼀个朋友，什么是数学中的“最⾼真理”。据说这个朋友给他提到毕达哥拉斯定理、股票和股份问题作为“最⾼真理”。毕达哥拉斯定理属于正统的数学，因为结论是在给定的前提下通过⼀系列演绎的推论得到的，不存在任何有关结论的不确定性问题。
股票和股份问题属于概率，这⾥所得到的结论不⼀定要求必须准确，但是对投机者有帮助。两个问题都是学习上和研究中具有智⼒挑战性的领域。或许是⽐起股票和股份问题来说，拉⻢努⾦更熟悉毕达哥拉斯问题，这就使他迷上了数学。
拉⻢努⾦在笔记本上记录下来的绝⼤部分结果是⽆证明的，据说他⽤⽯笔在⽯板上进⾏推导，⽽仅仅把最后结果记录在纸上。当问他为什么不⽤纸时，拉⻢努⾦回答的是，他⼀周需要三令纸，他没有钱来买那么多纸。
1914年拉⻢努⾦前往英国与剑桥著名数学家哈代⼀起⼯作之前，他在印度杂志上⼀共发表了5篇论⽂。由他独⾃署名或与哈代合作，他⼀⽣共发表了37篇论⽂。在他短暂的研究⽣涯内，这些论⽂发表的时间分布如下：拉⻢努⾦死于1920年，时年33岁。在他⽣命最后的两三年⾥，他的健康状况越来越糟，但他仍继续进⾏研究并把很多结果记录在⼀个笔记本上，这个笔记本直到⼏年前才被发现。
这个被称为《补遗杂记》的笔记本上有很多新的定理，其开创了数论研究的新领域。
当然，拉⻢努⾦是⼀个罕⻅的现象，他在或多或少的恶劣环境中开花结果——这样的环境中是⼀个常规的教育体系，旨在培养⾏政⼯作的所需的⽂书⼈员；贫穷迫使有天赋的学⽣放弃从事学术追求，并为谋⽣⽽求职，缺乏制度上的⽀持或其他研究机会。
对于拉⻢努⾦在数学上的成就，尼赫鲁在他《印度的发现》⼀书中写道：拉⻢努⾦短暂的⼀⽣和他的去世是印度现状的⼀个代表。⼏百万⼈中有多少完全受到教育了呢？有多少⽣活在饥饿的边缘呢？如果对他们打开⽣活的⼤⻔，提供给他们⻝物、健康的居住条件、教育和成⻓的机会，这⼏百万⼈中会产⽣出多少杰出的科学家、教育家、技术⼯作者、企业家、作家和艺术家来帮助建⽴⼀个新印度和⼀个新世界呢？尼赫鲁是⼀个理想家。
确实，印度的状况这⼏年有了相当的改善。现在，印度科学的平均⽔平可以与任何发达国家相⽐。但是，⼈们总的感觉是：我们仍然没有达到完美和理想的⽔平。我希望，我们的政府和研究机构（在统计学家的帮助下！）进⾏调查研究，为把印度置于⾰新和科学发展的最前沿⽽做出必要的努⼒。
本⽂转载⾃微信公众
号“和乐数学”，原⽂摘⾃《统计与真理：怎样运⽤偶然性》（科学出版社，2004）。《返朴》发表时略有改动。