美丽泡泡带来的数学难题
平面上两点之间的最短路径是什么？一条直线。大多数人都会认为这自然是理所当然的，否则还能是什么呢？我们也可以用严格的数学来证明事实确实如此。对于两点之间的任意一条连接路径，都有一个能给出路径长度的公式。通过一些代数步骤，你就能通过求出那个公式的最小值而找到最短路径。这种证明属于变分法。变分法属于数学的一个分支，它是关于在给定条件下求一些量的极值的方法。
如果我们将问题上升一个维度，类似的问题就会引领我们进入肥皂泡的美丽世界。肥皂泡有着完美的形状，而且泡沫薄膜前后表面所反射的光线会相互干涉，从而形成五彩斑斓的颜色。肥皂泡在数学世界中也是美丽的，因为它们是极小曲面的绝佳例子。当泡沫内部封闭的空气体积固定时，那么薄膜表面的张力会最小化，从而将肥皂泡拉拽成在给定体积下具有极小曲面的形状，这种形状就是完美的球形。
这给数学家带来了一个巨大的难题：找到平面上两点之间的最短路径可能还算比较容易，但我们也能找到一个框架内的最小面积曲面吗？事实上，极小曲面不仅仅是形成于大的框架内的曲面，而且它本身就是由许多小的极小曲面构成的。
追求极小数学家凯伦·乌伦贝克是2019年阿贝尔奖的获得者，她是阿贝尔奖设立16年以来的第一位获奖的女性。1966年，乌伦贝克获得了博士学位，论文是关于“变分法与全局分析”。
当她在上世纪70年代遇到乔纳森·萨克斯之后，她的注意力就转向了对极小曲面的研究。通过能量来定义极小曲面是一种比面积更容易处理的方法。正如两点之间的路径长度可以用积分来描述一样，一个曲面的能量也可以。要做的就是找到一个使能量公式最小化的曲面。
扰动能量在乌伦贝克和萨克斯的数学世界中，三维空间中的曲面也是由某些类型的映射描述的。
在这种情况下，一个曲面的能量公式并不一定与使用的映射类型有关，特别是它与距离尺度也无关。然而，对于一系列映射而言，尺度可能非常重要：它或许会打乱映射的收敛性，从而让我们无法得到需要用来证明极小曲面存在的那种紧性结果。乌伦贝克和萨克斯找到了一个巧妙的方法来解决这个问题。他们修改了曲面能量通常的表达式，从而得到了一些略微不同的表达式。这些新的表达式能够表现尺度的影响，从而可以用来证明紧性结果。
超越肥皂泡极小曲面的数学研究具有深远的意义，乌伦贝克与萨克斯在这方面的贡献为后来许多的重大进展奠定了基础，它甚至涉及到物理学领域，远远超出了肥皂泡的问题：物理学家尝试构造一个万有理论，不仅描述我们能够看到的现象，也可以解释我们永远无法体验到的非常小和非常大的尺度的世界。这其中所涉及的概念远并不会像肥皂泡那样直观，但极小曲面理论与规范理论所描述的量子物理学之间，存在数学上的相似之处。
乌伦贝克说：“一个强大的数学事实是，直觉和技术可以在极小曲面理论与规范理论之间来回传递。”