如果有⼈告诉你，在任何时刻地球上总可以找到⼀个点，此时此刻在这⼀点上没有⻛！对此你可能会感到⼗分惊讶，然⽽这却是事实。缩到⼩范围可能会更加使你相信这⼀点。⼤家知道，台⻛是热带海洋上的⼤⻛暴，它实际上是⼀团范围很⼤的旋转空⽓。我们常听到新闻中台⻛的消息，说是台⻛中⼼附近的⻛⼒达到12级。这是指台⻛中⼼附近的⻛速达33⽶/秒，它相当于⼀列⾼速奔驰的⽕⻋的速度。
更有甚者，如2019年第9号台⻛“利奇⻢”（超强台⻛），其中⼼附近的最⼤⻛速竟达52⽶/秒。可是，在如此猛烈的台⻛的中⼼，在⼤约10千⽶直径的范围内，由于外围的空⽓旋转得太厉害，不易进到⾥⾯去，所以那⼉的空⽓⼏乎是不旋转的，因⽽也就没有⻛。下⾯是⼀则真实的报道，这是⼀位美国的⽓象学家乘坐台⻛侦察机，穿⼊太平洋上的⼀个台⻛眼时，对⽬睹的情况所做的⽣动描述。
它⽆疑能够加深你对“台⻛眼”这⼀奇异景观的了解。“……不久，在⻜机的雷达荧光屏上开始看到⽆⾬的台⻛眼边缘。⻜机从倾盆⼤⾬颠簸⽽过以后，突然我们来到耀眼的阳光和晴朗的蓝天下。在我们的周围展现出⼀幅壮丽的图画：在台⻛眼内是⼀⽚晴空，直径60千⽶，其周围被⼀圈云墙环抱。
有些地⽅⾼⼤的云墙笔直地向上耸⽴着，⽽在另⼀些地⽅云墙像⼤体育场的看台倾斜⽽上，台⻛眼上边圆圈有10~12千⽶，似乎缀在蓝天背景上……”看！在那宛如万⻢奔腾的怒吼的狂⻛中，果然存在着⼀个⻛的不动点。不动点的现象在⾃然界、⽣活中随处可⻅。
⽇本东京⼯⼤⽥中富教授在《科学之谜》⼀书中，提到⼀件有趣的事：⽼师带着⼀批学⽣到⼀座寺庙去参观，这位⽼师把头伸到⼤吊钟⾥去观察钟的结构，有个学⽣很淘⽓，想吓唬这位⽼师，就使劲⽤撞钟⽊去敲击⼤钟，结果不但没有吓着⽼师和旁边的⼥同学，⾃⼰反⽽被震⽿的钟声吓了⼀⼤跳。为什么会出现这种现象呢？
⽥中富教授画了⼀张图并解释说，这与在⼀个碗⾥倒满⽔，然后⽤筷⼦敲碗边，我们可以看到波纹从碗周围向碗中⼼移动的现象是⼀个道理。此时中⼼部分波纹因互相抵消⽽消失。图中的A、B、C、D、E实际上是声波的不动点。相反，敲钟学⽣站的地⽅F，恰是钟振动最⼤的地⽅，所以声⾳⾃然特别震⽿。下⾯你可以做⼀个有趣的游戏。
拿来同⼀个⼈的⼤⼩两张照⽚，把⼩照⽚随⼿叠放在⼤照⽚之上，然后你向观众宣布：⼩张照⽚上⼀定有⼀点O，它和下⾯⼤张照⽚与之正对着的点O′，实际上代表着同⼀个点。对此，你的观众⼀定会半信半疑。不过，当你告诉他如何找到这个不动点时，他们的⼀切疑虑都会烟消云散。设⼤照⽚为A′B′C′D′，⼩照⽚相应为ABCD，延⻓AB交A′B′于P点，过A、P、A′，及B、P、B′分别作圆。则两圆交点O即为所求的不动点。
事实上由上图知：这就说明了O点在⼤⼩照⽚中，所处的位置没有变动，即O为照⽚位置变换的不动点。瞧！不动点现象是多么神奇，多么耐⼈寻味！另⼀个例⼦是⼤商场等地⽅可以看到的平⾯地图，上⾯标有“您在此处”的红点。如果标注⾜够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。地球绕着它的⾃转轴⾃转。⾃转轴在⾃转过程中是不变的，也就是⾃转运动的不动点。
关于不动点系统的研究，始于20世纪初，1912年，荷兰数学家L.E.J.布劳威尔（L.E.J.Brouwer，1881—1966）证明：任意⼀个把n维球体变为⾃身的连续变换，⾄少有⼀个不动点。这就是著名的不动点定理。L.E.J.布劳威尔图源：百度百科对于⼤多数的读者，布劳威尔定理中的⼀些数学术语，⽆疑需要加以解释。例如，粗浅地说，就是“连续变换”原先距离很⼩的两点，变换后的距离依然很⼩。
⾄于“n维空间”，这是⼀个抽象的概念。具体地说，直线是⼀维空间，平⾯是⼆维空间，普通空间是三维空间，等等。因⽽线段是⼀维球体，平⾯圆域是⼆维球体，普通的球是三维球体，等等。布劳威尔定理的严格证明虽说很深奥，但有关布劳威尔定理的⼀些实例却是很有趣的。拿⼀个平底盘和⼀张恰好盖住盘底⾯的纸，纸上的每⼀个点正好对应着它正下⽅盘⾯上的⼀个点。现在把纸拿起来随便揉成⼀个⼩纸团，再把⼩纸团扔进盘⾥。
那么，根据布劳威尔不动点定理，不管⼩纸团怎样揉，也不管它落在盘底的什么地⽅，我们可以肯定，在⼩纸团上⾄少有⼀个点，它恰好位于盘⼦原先与这⼀点对应的点的正上⽅。尽管我们说不准这样的点在哪⼉。以上事实我们可以给予如下说明：假设⼩纸团在盘⾯上的正投影为区域Ω1。显然，原纸⽚上与Ω1相对应的点⼀定位于Ω1的正上⽅，假设纸团⾥的这部分在盘底的正投影为区域Ω2，显然Ω2<Ω1。
同样，原纸⽚上与Ω2相对应的点⼀定位于Ω2的正上⽅，⽽纸团⾥的这部分在盘底的正投影为区域Ω3，⼜有Ω3＜Ω2，如此等等，可以反复做下去，得到⼀连串⼀个⽐⼀个⼩的区域Ω1，Ω2，Ω3，…，这些区域⼀个含于另⼀个之内，形成⼀层⼩似⼀层的包围圈。因此最后必然缩到“⼀个点”（或“⼀个⼩区域”），那么这个点（或⼩区域上的点）在纸团上的位置，⼀定恰好在该点的上⽅。
布劳威尔不动点定理问世后，引起了各国科学家的极⼤兴趣，他们对此做了⼤量的⼯作，取得了许多奇妙的应⽤。举⼀个颇有影响的例⼦。1799年，德国数学⼤师⾼斯证明了n次代数⽅程⾄少有⼀个根。这就是著名的代数学基本定理。尽管这个定理的名称，对于200多年后的今天似乎不确切，但对于200多年前以⽅程理论为主体的代数学，却没有⾔过其实。
今天，当我们研究了不动点理论之后，可以把⽅程f（x）=0的求根问题，转化为求函数φ（x）=f（x）+x的不动点。由于⽅程f（x）=0的根不可能超越复数平⾯的某个半径很⼤的圆域，⼜函数φ（x）显然是连续的,因此在这个⼤圆域运⽤布劳威尔不动点定理，知道⾄少存在⼀个点x，使得φ（x）=x即f（x）+x=x也就是说，⽅程f（x）=0⾄少有⼀个根。看！⼀个在代数学上起着巨⼤作⽤的定理，竟如此轻松地证明了。
不过，对于不动点理论，科学家们似乎感到不尽如⼈意，因为这个理论只告知不动点的存在，却没说不动点在哪⾥。这个问题困扰了他们达50年之久，直⾄20世纪60年代后期，情况才有了转机。1967年，美国耶鲁⼤学的斯卡弗教授，在不动点由未知转向已知⽅⾯，取得了重⼤突破。他提出了⼀种⽤有限点列逼近不动点的算法，使不动点的应⽤，取得了⼀系列卓越的成果。
有趣的是，对不动点理论做出如此巨⼤贡献的斯卡弗本⼈，却是⼀名专攻经济学的学者。数学上的理论，使斯卡弗和他的同⾏们在经济学领域犹如猛⻁添翼，取得了累累硕果。