大家都
知道
1
米等于
100
厘米，
1
吨等于
1000
千克。这样的单位换算非常方便，只要移动小数点就可以完成转换，例如
0.47
吨等于
470
千克。相比之下，有些计量单位不是十进制，换算起来就麻烦。比如，问
0.5
年是多少天，就需要用
0.5
乘以相应的进制
365。同样地，求
0.4
小时有多少分钟，就要用
0.4
乘以时间进制
60；求
0.3
圈是多少度，就要用
0.3
乘以角度进制
360。
在这些单位换算中，日、月、年是自然单位，之间的换算比率由地球和月亮的运动规律决定，即使换算烦琐也无法人为调整。而小时、分、秒、度都是人为规定的单位，既然换算起来这么麻烦，为什么人们不彻底统一成十进制呢？
为了解释这个问题，我们需要从角度的由来讲起。在古代，人们最常在天文测量中接触角度。从地球上看，太阳每年会绕地球公转
1
圈。由于
1
年约是
365
天，那么太阳每天绕地球公转的角度是
1/365
圈。于是，我国古代就规定
1
圈，也就是
1
个周角为
365
度。这样，太阳每天公转的角度就可以被记作
1
度，看起来很方便。但是，这种规定应用在几何学中却出现了问题，比如，直角就会被记作
91.25
度，数值很零散。
在古代，古巴比伦人一直惯用
60
进制，他们发现如果规定
1
个周角是
360
度，那么这个数值与
1
年的天数非常接近，仍然可以将太阳每天公转的角度近似当作
1
度。而且这样规定之后的好处是，常见的特殊角都可表示为整数度，例如直角为
90
度，等边三角形内角为
60
度，对天文学和几何学都很方便。
这个规定慢慢传到了周围的国家，后来古希腊科学家提升了角的测量精度。遵循古巴比伦的
60
进制传统，古希腊人又把
1
度的角记作
1°，并将其
60
等分，每份称为
1
分的角，记作
1'；
1
分的角继续
60
等分，每份称为
1
秒的角，记作
1"。看到分、秒这样的词汇，你一定联想起时间的单位。既然同样是
60
进制，角度的换算是借鉴了时间单位的规定吗？
不，恰恰相反，历史上是时间单位名称借鉴了角度单位。西方人在古代就利用日晷将
1
天划分为
24
小时，类似我国古代把
1
天划分为
12
个时辰。随着计时精度的提高，人们需要更短的时间单位。大约在我国宋朝时期，西方人仿照角度制，将
1
小时等分为
60
分钟，
1
分钟等分为
60
秒。到了
17
世纪，西方发明了摆钟，普及了如今
60
格的表盘。清朝时，小时、分、秒等时间单位也随钟表传入了我国。
18
世纪末期，法国大革命推翻了旧的政治制度。为了表示与传统决裂，法国科学家们废除了法国旧的度量衡制度，希望设计出一种科学的新单位制为各国所公认。新单位制规定
1
千米为
1000
米，
1
千克为
1000
克等，这些单位沿用至今。为了贯彻“十进制”的原则，法国人也曾规定
1
天为
10
小时，
1
小时为
100
分钟，
1
分钟为
100
秒，直角为
100
百分度。这时问题就出现了，根据这一规定制作出来的钟表，表盘有
100
个小格，太过奇怪，反而不为其他国家接受。
几何领域也是如此，等边三角形的内角就成了
66
又
2/3
百分度，不是整数。最终，时间和角度恢复了传统的
60
进制，虽然百分度这个单位已经废弃不用，但它是科学家们勇于突破传统束缚、追求简洁的一座丰碑，值得我们永远铭记。
现代社会普及了小数的使用，可以用一个单位表示所有的角，减少了不同单位之间的换算。在
60
进制的情况下，
15'是
1°（
60'）的
1/4，也就是
0.25°；
45'
是
1°（
60'）的
3/4，也就是
0.75°。于是，像
1°15'+2°45'=4°
这种角的加法，可以写作
1.25°+2.75°=4°，已经不再涉及角度单位之间的换算。梳理数学的历史，既涉及自然，又依照逻辑、遵循习惯。