我们生活在平直的三维欧氏空间，时间空间仿佛均匀展开。但你有没有想过，生活在双曲空间，比如庞加莱圆盘上，会是怎样奇妙的体验？事实上，我们的意识、记忆或许是在双曲空间运转，双曲空间是复杂网络背后的几何，爱因斯坦构建狭义相对论的闵可夫斯基时空也是双曲面模型。双曲空间到底是什么样？为何吸引黎曼、庞加莱、克莱因、莫比乌斯等数学巨擘探索？今天，我们共同开启一场双曲空间的跨学科之旅。
初识双曲空间
难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少人将被艰深的双曲几何拒之门外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。圆极限 III 和圆极限 IV 是埃舍尔创作的两幅木刻：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。
好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
魔力圆盘引导我们得到以下发现：(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，只是因为圆盘在此处“膨胀”了。
事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 r 时，圆盘的面积将增长为——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因此可用鱼长作为标尺。
在图中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
(2) 连续的层级。在圆极限 IV 上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限 III 中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，节点数量随着层数指数增长。
更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
至此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增长的空间，又可以看作连续的树结构，与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了，它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的一种模型。身在双曲空间会有何种体验呢？
举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
细辨双曲模型
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
曲率、镶嵌、海珊瑚为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是 0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面）；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。
许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。
至此我们了解了曲率这个重要概念，而双曲空间正是由曲率来定义：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的双曲几何，如最短路径是曲线，三角形内角和小于 180 度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。
地图投影我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？
这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到三维欧式空间，也就是说我们不可能看到完整的双曲空间。
想象整个双曲空间是困难的，也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到 19 世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来光辉时刻。
共形模型
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼投影在不同点就有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，不难发现半平面上部无限远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。两种共形模型——圆盘和半平面之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。
没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
双曲面模型除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。双曲面嵌入的这个空间不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。
闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。双曲面模型与过原点的平面相交所成的交线即为测地线。
每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
跨学科旅行
如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。
意识幻觉是双曲空间吗还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！
时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现。服用迷幻药物后的体验则更奇特：观察者首先觉得周围的图景更加清晰，然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间……研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。
双曲空间与相对论
爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。
双曲几何与复杂网络
网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构（尤其是层级性），而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。
当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。
双曲贴现与行为经济学双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。
但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心），在与预期有关的实际决策中人们并不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。双曲贴现是行为经济学的重要基础，它影响了消费和储蓄、上瘾行为、不对称信息和契约设计、资产定价等众多研究。
双曲与数据科学
组织和管理海量数据是我们这个时代的迫切需求，而双曲空间的容纳能力和内在层级性是数据治理的有力手段，也是大数据中日益重要的研究方向。实际上，双曲空间已经在数据科学领域大显身手，例如知识图谱的表示方法中，就有一类运用双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂网络中将节点嵌入双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲几何的网络导航也是一种高效的导航算法。
由于人类知识体系有着显著的层级特征，用双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
双曲与艺术
双曲造型是科学和艺术融合的一个典范：双曲几何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲几何不只躺在数学家的手稿中，而是广泛影响了人类体验。本文在行文中穿插了一些艺术作品，但仅是冰山一角，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术门类中都有鲜明的存在。
总结
在本文中，我们从欣赏埃舍尔的画作开始认识双曲空间，随后纵览了双曲空间最重要的几种模型，再沿着学科脉络进行了一番漫游。双曲几何这一领域始于对平行公设的颠覆，历经数代数学家的发展已成知识大厦，并深刻渗透到各个学科和人类活动中。