我们都知道圆周率π是无理数，但极少有人知道怎么证明它。事实上，很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因，一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由伊万·尼文(Ivan Niven, 美国数学家) 给出的据称是最短的证明，需要大学数学知识才能看懂。本文给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在1761年给出。
此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了π的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也是世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。
无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。例如，如何证明π是无理数？可以先设π是有理数，于是有π=a/b，两边同取n次幂得到π^n=a^n/b^n。这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此π是有理数的假设不成立。
连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：其中a0、a1、a2，b1、b2、b3为实数或复数。连分数常用来逼近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。
连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0点的特殊形式。若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：其中Rn(x)表示f(x)的n阶导数且Rn(0)=0。因为f(x)在x=0处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在x=0处展开f(x)，得到：同样展开g(x)得到：
第一步，兰伯特得到了π的连分数表示：第二步，兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数时，tan(x)是无理数。所以tan(π/4)、tan(π/2)等都是无理数。第三步，因为π=4arctan(1)，tan(1)不是无理数，所以π不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明π是无理数。
设π是有理数，则π可以写为a/b，其中a和b均为正整数，代入得到化简右边连分数，给分子分母同乘b，得到这个无限连分数，除了第一个分子是1，其它的分子都是b。分母则越来越大，也就是说，从某一处向后，分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。根据a和b的不同，可能是a/b或a/(b+1)才比a/b大，这里不妨设a/b比a/(b+1)大1，那么从这一点向后，所有的分母都比分子至少大1。
由a/b得到a/(b+1)那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的同样，如下图，从a/(b+1)开始，之后的所有部分也是大于0小于1的。如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于r，有r=a/(b+1)，即r=a/(b+1)。
所以得到：再考虑a/(b+1)向后的部分，整理上面的式子得到下式由于a、b、c、d都是整数，所以a/(b+1)也是一个整数，令其等于k。
因为a/(b+1)向后的部分也是大于0小于1的，所以又得到：所以现在有：再考虑a/(b+1)向后的部分又得到：因为这是一个无限连分数，所以反复这样做可以得到一个无限递减数列：由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的，无论k有多大，始终都会在有限次递减后小于1，所以不存在这样的一个递减数列。于是，之前从a/(b+1)开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到π无理数
因为π而tan(1)不是无理数，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果π，那么应该得到一个无理数而不是0），得到π不是有理数，所以π不是有理数。得证。