一位“业余”的数学家，到底有没有证明出那个可以挽救自杀者的定理？中科院物理所
2017-10-26 12:56:30
转自公众号：超级数学建模
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各位模友看到标题就知道我想讲什么了。没错，就是费马大定理。这个费马声称因为纸张太小而没有留下证明过程的定理，让后来的数学家苦苦追寻了300多年。
商人沃尔夫斯凯尔，一位德国数学爱好者，在被自己疯狂迷恋的姑娘拒绝以后，感受到了前所未有的绝望，绝望到让他决定放弃这个世界。作为一名数学爱好者，沃尔夫虽然绝望到了极点，但做事依旧有条不紊。
他认真处理好了商业上的事务，给亲友写好了道别信，然后等待着在午夜钟声敲响的那一刻，用手枪和这个世界说再见。然而他办事效率实在太高了，处理完所有事务后，午夜钟声还要好几个小时才能敲响。在这人生最后的几个小时里，该做点什么呢？沃尔夫选择去了图书馆。在图书馆一本数学期刊里，沃尔夫“偶遇”了一篇库尔默的文章，里面是解释柯西和拉梅证明费马大定理的方法为何行不通。
不知不觉地，沃尔夫沉浸在了证明里面，然后他发现库尔默的论证有逻辑漏洞！但他不确定这个漏洞是不是真的存在，如果是，那么费马大定理的证明可能比众人猜测的要简单很多。这可不是一件小事，沃尔夫立刻展开纸笔，谨慎地推理起来，直到黎明时分，沃尔夫终于完成了证明。库尔默没有错，他的假定是合理的，只是并未在论证中说明而已。
完成证明的沃尔夫从数学中感到一阵前所未有的满足感，他似乎又找到了人生的价值和意义，于是他决定不自杀了。他撕毁了所有道别信，并且重新立了遗嘱。
沃尔夫去世之后，他的遗嘱被宣读，原来他要将自己大部分的遗产成立一个奖项，奖励未来能够证明费马大定理的人。这笔10万马克的奖金被保存在哥廷根皇家科学协会里，直到1995年才被英国数学家维尔斯拿走。英国数学家维尔斯第一个完满证明费马大定理的数学家。
不过费马大定理的传奇可不止这些。因为提出定理的人是一名律师，他的名字叫皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。皮埃尔·德·费马（1601～1665）费马的老爸是富商，家庭环境优渥，少年的费马算得上是个“富二代”，但是他没有富二代的恶习，在叔叔皮埃尔的教导下，养成了良好的性格习惯和广泛的兴趣爱好。
1523年，法国出现了专门贩卖官爵的机关，目的是补贴政府财政，后来“业务”发展到只要不是宫廷和军队里的官职，都可以进行交易。加上当时法国社会男子以学习法律为时尚，于是大学还没有毕业的费马就花钱买到了“律师”和“参议员”的职位。等到他毕业之后，费马顺理成章地当上了家乡图卢兹的议员。在接下来的时间里，费马一直都在法国官场里做事，虽然没有出色的政治才能，但是他却不断升迁，最高职位到了议会首席发言人。
虽然算是官场得意，但费马的名声却是在一个“业余”的领域里传出来的。
17世纪30年代，将近30岁的费马买到了一本书，书的名字叫《算术》，里面有这么一个内容：将一个平方数分解为两个平方数的和。例如：5^2=4^2+3^2,20^2=16^2+12^2。
作为一名业余数学爱好者，费马在看到此内容后，只是在书页边留下这么一段话：“然而，你却不可能将一个立方数写成两个立方数之和，也不能将一个四次幂数写成两个四次幂数之和，或者更一般的，任何一个高于二次幂的数都不能写成两个和它同次幂的数之和。我已经发现了一个绝妙的证明，但是这里太窄了，我写不下。
”这段话用现代的记号表示即：若n是一个大于2的正整数，则方程x^n+y^n=z^n（x^n表示x的n次方）没有非零的有理数解。在超模君看来，这么任性也就费马这人了。但也有人说，费马这么写，并不是因为任性，而是他因为太过激动然后暴毙而亡了。不过在很多学者确认后，费马此人应该活到了1660年以后呢！
那么问题来了，尽管定理的发现是在他数学生涯的早期，可为什么费马只是声称自己可以证明，却没有留下任何阐述证明方法的资料？关于这个问题，超模君一直在探寻。有一种说法是，费马无法证明自己的发现，但他知道这很有可能是一个困难无比的问题，一个跟他同时代的人都不可能解决的问题。如果在他去世之后，有人证明出定理是真的，那么此时声称能够证明的费马就会步上神坛。
听起来很有道理，可是再找找费马的成就，会发现他根本不缺这点名声。费马在当时对解析几何、微积分、概率论、光学都有创造性的贡献，尤其是微积分，那基本上是当时热点中的热点。更加有趣的是，费马在让其他数学家相信类似于“费马大定理”这样的定理是有大价值时，其他数学家却是不屑一顾，其中包括布莱斯·帕斯卡和约翰·沃利斯。
不过还有另一种说法是，费马一开始以为自己找到了一个“绝妙的证明”，但是他后来意识到自己的证明方法是错的。这种说法的形成过程说起来有些复杂，超模君简明扼要地来说一下。数学上有一种证明方法叫做间接证明，当我们要证明一个命题不成立时，我们只需要说明它的成立会和它本身或者已知定理相矛盾就可以了。
而学者们相信，费马当初很有可能用到了间接证明，因为费马大定理的问题性质，证明一件东西不存在，决定了间接证明很有可能是费马口中“绝妙的证明方法”。但是，间接证明容易导致一个问题：在面对复杂的情况时，很容易会构建出一个虚假的间接证明，里面的矛盾并非由前提假设推出来的，而是源于你别的错误。而费马的“绝妙的证明”恰恰有可能出现了这样的问题，这被费马发现了，然后他选择了沉默，直到300多年后才被人所证明。
不过也幸好，如果没有费马，那也就没有商人沃尔夫用数学救回自己的故事，也就没有300年数学界为证明费马大定理的疯狂，更没有十八线网红在这跟你侃大山。生活很美好，一夜暴富的永远都是别人，但一夜知道这么多的只有你。