几乎所有的数学家都认为数学是优美的。学过泛函分析的学⽣都知道著名的 Han-Banach 定理。这个定理的提出者巴拿赫曾说过，“数学是人类最美及最有⼒的创造”。数学的美体现在很多⽅⾯，其中之⼀是对称美。对称是⾃然界之美的⼀种表现形式，在动物、植物以及⾃然景观中，对称的现象随处可⻅。⾃然界中对称的例⼦⽐⽐皆是。对称在数学中随处可⻅。
古希腊著名哲学家亚⾥⼠多德曾说过：“数学科学特别表现次序、对称和限制，这些是美的最⾼形式”。⼏何中很多图形具有对称性，⽐如平⾯上的⻓⽅形、圆形、等腰三⻆形，⽴体图形中的⽴⽅体、圆柱体、球体等。在现实⽣活中，直线是⼀维、平⾯是⼆维、⽴体是三维，如果把时间考虑进来，就有四维空间。在数学中，可以考虑任意⾼维的空间。更有意思的是，还有分数维空间。
代数中也有⼤量的对称，从⼩学的 a 乘 b 等于 b 乘 a，到中学的对称多项式，乃⾄⼤学的对称矩阵、对称群等等都是对称的例⼦。对称性还为数学中的许多分析技巧、证明⽅法提供了思路。上述亚⾥⼠多德在谈对称时，还提到了次序。“序”是数学中重要的概念，有序的事情是和谐的、美好的。德国数学家、哲学家莱布尼茨曾说过：“次序、对称、和谐让我们陶醉，……上帝是纯粹有序的，他是宇宙和谐的缔造者。
”莱布尼茨与⽜顿独⽴创⽴了微积分，现在我们微积分所⽤的数学符号均源⾃于他。莱布尼茨的职业是律师，他发明及完善了⼆进制。据说这⼀发明与中国密切相关：相传法国数学家、传教⼠⽩晋把中国外圆内⽅的易经⼋卦图送给过莱布尼茨，这对他发明⼆进制有启发作⽤。数学的另⼀种美是⽐例美。中⼩学教授的⼏何都属于欧⽒⼏何，是源于古希腊数学家欧⼏⾥得对欧式空间中的⼏何性质的系统研究。
欧⼏⾥得在其《⼏何原本》中给出了⼀个称为“中末⽐”的⽐例，它的定义是源于：⼀条线段上的点把其分为两段，使得⻓段的⻓度与短段⻓度的⽐值正好等于整个线段的⻓度与⻓段⻓度的⽐值，这个⽐值就是所谓的“中末⽐”。设线段分成⻓短两段，其中⻓段之⻓为 a，短段之⻓为 b，则通过解⼀个⼀元⼆次⽅程就可以把中末⽐ a/b（⽤希腊字⺟ φ 作为记号）求出来，它约等于 1.618。很多科学家⾮常推崇“中末⽐”。
德国的天⽂学家、物理学家、数学家开普勒曾说过：“⼏何学有两⼤珍宝：⼀个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），另外⼀个是中末⽐。前者可⽐⾦⼦，后者可称宝⽟”，可⻅他对“中末⽐”这个⽐例的推崇程度。⽂艺复兴时期，⼈们喜欢把美好的东⻄形容为“如⾦⼦般闪闪发光”。因此中末⽐这⼀⽐例被德国数学家⻢丁·欧姆命名为“⻩⾦分割”⽐例。这⾥需要提醒读者注意，这⾥的数学家⻢丁·欧姆并⾮物理学中电阻的单位欧姆指代的⼈。
电阻单位是⽤物理学家乔治·欧姆命名的，⽽⻢丁·欧姆是乔治的弟弟。意⼤利全才科学家、画家达芬奇也⾮常喜欢⻩⾦分割⽐例。他在名画《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》、素描《维特鲁威⼈》等多处采⽤了⻩⾦分割⽐例。按照达芬奇的观点，美⼈的肚脐应该处于整个身⾼的⻩⾦分割点；同样，眼睛应该位于头部的⻩⾦分割点等等。古埃及⾦字塔、希腊雅典的帕特农神庙等建筑中⻩⾦分割也到处可⻅。
⾃然界中很多动植物上也有⻩⾦分割⽐例的体现。简洁美也是数学的美之⼀。很多数学公式⾮常简洁。譬如欧拉公式：⼀个短短的公式就把数学中的⼏个最重要的量：欧拉常数 e, 虚数 i，圆周率 π，以及 1 和 0 都联系在了⼀起。另⼀个简洁⽽⼜奇妙的公式是欧拉点线⾯公式。它刻画了多⾯体的顶点数 V、棱数 E 以及⾯数 F 的内在关系：顶点数减去棱数，再加上⾯数之和等于 2。
⽜顿定律 F= ma 同样也是⼀个简洁的公式。它阐述了经典⼒学中的基本运动规律，其意义是物体受到的作⽤⼒ F 等于其质量 m 乘以加速度 a。优美数学公式体现在物理中的例⼦还有⻨克斯⻙电磁场⽅程（组）：简单的四个⽅程就给出了电磁场理论的精确数学表达，展示了电场与磁场相互转化中产⽣的对称美。数学的美还体现在数的奇妙。
让我们先从勾股定理谈起：设直⻆三⻆形的三条边分别是 3、4、5，三条边⻓满⾜ 3 的平⽅加上 4 的平⽅等于 5 的平⽅。我国东汉末年⾄三国时期的东吴数学家赵爽在《周髀算经注》中明确给出了勾股定理的描述：“勾股各⾃乘，并之，为弦实。开⽅除之，即弦。”他还利⽤弦图给出了勾股定理的证明：“按弦图，⼜可以勾股相乘为朱实⼆，倍之为朱实四，以勾股之差⾃相乘为中⻩实，加差实，亦成弦实。
”2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家⼤会，会议的会标就是基于弦图设计的。勾股定理在⻄⽅被称为毕达哥拉斯定理，是因为有⼈认为该定理是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯所发现，⽽且把如下的证明归功于他。该证明把四个勾股弦分别为 a、b、c 的三⻆形围成⼀个边⻓为 a+b 的⼤正⽅形。中间的空隙是⼀个边⻓为 c 的⼩正⽅形。
利⽤⼤正⽅形⾯积等于⼩正⽅形加上四个三⻆形⾯积这⼀关系，就可以推导出勾股定理。注意，弦图是把同样的四个三⻆形围成⼀个边⻓为 c 的正⽅形。这两种证明勾股定理的⼏何⽅法殊途同归。本质上，它们⼀个利⽤了 (a+b)2、另⼀个利⽤了 (a-b)2 的展开公式。其实，没有任何证据能够认证毕达哥拉斯曾证明过勾股定理。但史料表明，毕达哥拉斯显然知道勾股定理，很可能他是从古巴⽐伦⼈那⼉得知这⼀美妙的结论。
类似于（3，4，5）这种能构成直⻆三⻆形三个边⻓的数组称为毕达哥拉斯数。可以证明，存在⽆穷多组毕达哥拉斯数，如（5，12，13），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85）等等。有趣的是，如果我们把勾股定理中的平⽅换成三次⽅，就找不到这样的整数组满⾜规律了。
费⻢⼤定理描述的就是这个结论：x 的 N 次⽅加上 y 的 N 次⽅等于 z 的 N 次⽅这个等式在 N ⼤于 2 时不存在正整数解。费⻢是法国业余数学家，他⼤学是学法律的，30 岁时出任图卢兹议会议员，之后还担任图卢兹法院法官。他经常利⽤业余时间研究数学问题，和笛卡尔（1596-1650）、梅森（1588-1648）通信讨论数论问题。
费⻢在他收藏的丢番图《算术》⼀书的书眉上写下了费⻢⼤定理的描述，但未给出证明，⽽是留下了⼀句话：“我确信已发现⼀种绝妙的证明，可惜此处空⽩太⼩写不下”。殊不知这句话背后的定理证明让⽆数数学家为之冥思苦想，直到三个半世纪后的 1994 年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出完整证明。另外⼀个神奇的数论例⼦是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫出⽣于普鲁⼠的哥尼斯堡（今俄罗斯加⾥宁格勒），也就是欧拉七桥问题的所在地。歌德巴赫 35 岁起担任圣彼得堡皇家科学院的数学和历史学教授。三年后赴莫斯科任沙皇的私⼈教师。42 岁起⼀直在俄国外交部任职。可⻅，他也是利⽤业余时间研究数学。1742 年，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了哥德巴赫猜想：任何⼤于 2 的数可以写成三个素数（编者注：也称质数，只能被 1 和其⾃身整除）之和。
因为在哥德巴赫那个时代，1 也是⼀个素数，所以哥德巴赫猜想在如今的表述是：任何⼤于 2 的偶数可以写成两个素数之和。如果⽤“1”来代表⼀个素数，哥德巴赫猜想就可以简称为“1+1”。这个猜想的描述虽然简单，但却是世界级难题，被称为数学皇冠上的明珠。近 300 年，经过了⽆数知名数学家的努⼒，⾄今依然还没有被彻底证明。
针对哥德巴赫猜想这⼀世界难题，我国先后有⼏位数学家做出了巨⼤的贡献，包括王元、潘承洞、陈景润。特别值得⼀提的是，陈景润于 1966 年证明了“1+2”，这⼀结果⾄今仍是哥德巴赫猜想问题的最佳进展。“1+2”就是指：所有充分⼤的偶数都可以写成⼀个素数及⼀个不超过两个素数的乘积之和。⼲净、整洁也是美的重要因素。打个⽐⽅，如果⼀个⼈的脸上、身上到处都脏兮兮的，⽆论⻓相如何，⼤家都不会认为这有多美。
⽽数学之所以被认为是优美的，与它的整洁之美不⽆关系。众所周知，数学证明必须⼲⼲净净，经得起推敲，没有任何瑕疵。英国哲学家、医⽣、⾃由主义之⽗约翰·洛克将数学证明的坚实、⼲净和⽆暇⽐作钻⽯，可⻅他对数学证明的欣赏。洛克有很多著名的论著，包括《⼈类理解论》和《政府论》。可以说，他的理论激励了美国⾰命和法国⼤⾰命，对美国宪法和《独⽴宣⾔》都有极⼤的影响。
这么⼀位闻名于世的哲学家和思想家把数学的证明⽐作钻⽯，可⻅数学的确是美不可⾔。数学的美是极致之美，它就像⼀个⾼⾼在上、冰肌⽟⻣的冰⼭美⼈。这种说法可以追溯到英国数学家、逻辑学家罗素。罗素是⼀位闻名遐迩的哲学家、⽂学家，他曾获得过诺⻉尔⽂学奖。罗素说过，数学不需修饰、⾼冷得像座雕塑。在他眼⾥，其他的艺术，包括舞蹈和⾳乐等都不如数学美丽，只有雕塑才能与数学媲美。
⽂⾄此处，读者或许会有疑问，数学如此美妙，为何很多⼈并未感同身受呢？事实上，欣赏美需要了解的过程和鉴别的能⼒。正所谓，盲⼈不会认为眼前的⻛景值得流连，动听的⾳乐不会掀起聋⼈的波澜⼼情，⼀个从⼩到⼤不吃辣的⼈⽆法理解我这个湖南⼈⼝中的辣椒美味。欣赏数学也是⼀个道理。如果你从不曾⾛进数学的世界，⽤⼼领会和感悟那数字、图形、逻辑的出神⼊化，⼜怎么会觉得它美妙呢？