蟑螂小强最近心里颇不宁静，怎么回事呢？这话还得从一个月前说起。那是一个月黑风高的晚上，小强终于鼓起勇气向暗恋已久的蟑螂翠花表白了。作为蟑螂届资深白富美，翠花怎么可能看得上又矮又丑又穷的小强。为了既使这位不速之客知难而退，又不伤及矮丑穷的自尊，翠花扔给小强一句话：“要想我做你的女朋友，除非你把全世界给我。”小强反反复复念叨着这句话。
小强的内心是崩溃的——世界那么大，我自己都还没逛完，拿什么给我美丽的翠花姑娘呀。可是小强的绰号又叫“打不死的小强”，怎么能轻易屈服？这时小强突然想到那则关于李雷甩开吴彦煮追韩梅梅的经典案例，也想效仿。不过小强不认识那位小编（本文中化名为皮皮卤），于是便找到了自己的好友，一个不知名大学整天不干正事的数学系博士生——小灰狼罗克。
罗克了解情况后低头略一思索，然后一脸坏笑地说：“既然翠花姑娘眼光这么高，咱们就拼一个全世界给她！”小强尚惊魂未定，罗克就搬出了剪刀、浇水和无数个用办公室里的废纸剪出来的形状各异的三角形。工具准备齐全后，罗克开始了自己的“拼世界”表演，留下在一旁一脸懵逼的小强。不过在表演之前，罗克要先把几个概念解释清楚。歌词里说：“三分天注定，七分靠打拼”。而要想拼出全世界，拼就得占十分了。
但拼图必须得遵守规则，不能乱来。玩过拼图游戏的童鞋都知道，拼图中拼接的两个纸片之间不能有重叠的部分。在数学家们看来，能入他们法眼的只有下面两种拼法：两个三角形必须要么只有一条边重合，要么只有一个顶点重合。也许一些读者到这里要笑掉大牙了：“什么是世界，难道这个问题还需要解释？”罗克告诉大家，这其实是一个非常重要的问题！就好比一千个读者眼里有一千个哈姆雷特，罗克眼里的世界和小强眼里的世界是不一样的！
小强再怎么打不死，他的世界观总是比不上罗克的。我们可以假定小强的世界中只有“长度”和“宽度”，而没有“高度”的概念；换言之小强是一个“二维生物”，他只能看到前后左右的事物，没法举头望明月或低头思故乡。在这种假设下，小强的世界都是二维的平坦面，例如：在小强的眼中，世界是平的。总之小强在他自己那个世界的体验，就像一个刚出生不久的小宝宝在地上爬行时所体验到的世界。
此时的小宝宝不能抬头，只能在地上前后左右地爬。然而小灰狼罗克是哺乳纲食肉目犬科动物，是高等生物，他不仅能左看右看，还能上看下看。因此在罗克的眼中，小强其实是生活在三维空间中的二维曲面上。不过不是所有二维曲面都在罗克的世界观中。
例如克莱因瓶就是例外：因为就连作为哺乳纲食肉目犬科动物的高等生物罗克都没法感受到克莱因瓶的全貌——克莱因瓶只能被四维生物感受到，因为它无法在不与自己相交的情况下被嵌入到三维欧式空间中。同样的例子还有实射影平面：注意实射影平面和克莱因瓶构造的异同之处。但就算去掉克莱因瓶和实射影平面这两个不合群的异形，小强认为罗克眼中世界也太多太复杂了，翠花根本看不过来。怎么办呢？
罗克又有了一个好点子——只需要拼出一个“好”的世界就足以打动翠花芳心了。用数学语言，所谓“好”的世界，就是“封闭的”，或者紧无边的并且能被不自相交地嵌入到三维欧式空间中的二维曲面。假设“好”世界都是橡皮薄膜做的，并且可以在不弄坏薄膜的情况下任意拉扯（也就是拓扑变换）这个世界。
例如下面的几对“好”的世界是可以通过互相拉扯得到的：有了这个想法，数学家们给出了对“好”的世界的一个性质：定理1：任何一个“好”的世界都可以通过“拉扯薄膜”的操作，变成可以由有限个三角形拼出的世界。用更严格的语言：定理1：任何二维闭曲面都可被有限三角剖分。例如：球面和圆环面的三角剖分方法。
罗克手有些酸了，他用计算机画出了更复杂曲面的三角剖分：值得一提的是，多亏小强和罗克最多生活在三维世界，如果他们是四维生物，那么罗克和小强有可能没办法用三角形拼出翠花想要的世界。用数学的语言，三维流形都可被三角剖分，但四维流形不一定可被三角剖分。有兴趣的读者可以参考相关文献。可是小强还有一个担心的地方——翠花姑娘不是想要全世界吗，光一个“好”的世界怕是不能打动白富美。
罗克一听哈哈大笑：“傻瓜，一个‘不好’的世界可是无穷无尽的，你要真把‘不好’的世界拼给翠花，她也走不完。而且万一她走远了你怎么办？所以还是给她‘好’的世界吧！”不过就算只考虑“好”的世界，其种类也挺多的，怎样才知道是否把所有“好”的世界都罗列进去了呢？这当然难不倒聪明的罗克，他大手一挥，像设计师一样沙沙地在纸上画着：我们可以看到，不同“好”世界的唯一区别就在于“洞”（亏格）的数量。
于是数学家们给出了对“好”的世界的另外一个性质：定理2：罗克所画的图列举了所有可能的“好”的世界。用更严格的语言：定理2（闭曲面的分类定理）：任何可定向闭曲面必然同胚于球面或n（n>=1）个圆环面的连通和。罗克的理论让小强颇为满意（其实小强似懂非懂，但面对白富美，总得装一下）。不过实践才是检验真理的唯一标准。
罗克开始放大招了，他用不知哪来的忠肝义胆古道热肠，外加惊人手法惊天毅力逆天技巧，为小强准备了两件礼物：为什么准备这两件礼物呢？礼物一的欧拉示性数为2，礼物二的欧拉示性数为0，合在一起不就是“20”么！忙活许久，罗克自然希望白富美能体会到小强的良苦用心，走上蟑生巅峰。但少女心谁人知，欲知后事如何，还得听下回分解了。