我们在学习数列时曾经接触过一个非常著名且特殊的数列——斐波那契数列，其递推关系可以描述为：F(n+2) = F(n+1) + F(n)。顾名思义，该数列的定义者自然就是中世纪意大利数学家斐波那契，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，其著作《计算之书》是非常重要的数学文献。斐波那契（1175—1250）通过递推式我们可以计算斐波那契数列的前若干项。
如果我们（从第5项开始）研究一下斐波那契数列相邻两项的比值，就会发现：这里的规律是：斐波那契数列相邻两项的比值交替地大于或小于某个数值并逐渐接近它，实际上，这个值是：(1 + √5) / 2，这就是我们耳熟能详的黄金分割比。我们自然会想到，斐波那契这种神奇的性质一定与它的本质——通项公式有关。由此我们可以作出一个大胆的猜想：斐波那契数列的通项公式中一定蕴含着这个元素。
事实上，斐波那契数列的通项公式为：F(n) = (1 / √5) * [((1 + √5) / 2)^n - ((1 - √5) / 2)^n]。你一定觉得很疑惑，为什么通项公式中全是无理数，却可以用它表示项为正整数的数列呢？这其中的无理数到底是怎么来的？今天我们就和大家来探讨一下如何求解斐波那契数列的通项公式。
回忆一下：如果有一个数列{a_n}满足a_{n+1} = 2a_n，且a_1 = 4，显然，这里应该将递推式变形为a_n = 4 * 2^(n-1)，也就是说，这里数列{a_n}是一个公比为2，首项为4的等比数列。随后问题便迎刃而解了。实际上，在处理上述问题时，我们用到的方法是待定系数法，一般而言，需要先假设a_n = b * r^n，再将b和r求出即可。
那么这对我们求斐波那契数列通项公式有什么启发呢？思考斐波那契数列的递推式F(n+2) = F(n+1) + F(n)，它是不是可以通过待定系数变形为F(n+2) - rF(n+1) = s(F(n+1) - rF(n))？答案是肯定的，通过整理对比系数可以发现常数r和s满足rs = 1。这样做的目的是构造出等比数列，其思路和上述的例子是一致的。
继续求解：由此，我们可以得到F(n+2) - rF(n+1) = s^n(F(2) - rF(1))，所以F(n+2) = rF(n+1) + s^n(F(2) - rF(1))。这里我们又可以运用待定系数法，假设F(n) = A * r^n + B * s^n（这里可以思考一下为什么不是假设F(n) = A * r^n？）。
好了，一样的思路，对比系数可知A + B = 0，因此F(n) = A * (r^n - s^n)。整理得F(n) = (1 / √5) * [((1 + √5) / 2)^n - ((1 - √5) / 2)^n]。多么简洁，美观又对称的一个式子！然后只需要代入先前我们求出的任意一组r和s的解就可以得到文章开头所述的斐波那契数列通项公式了。
更高的角度：至此，我们已经成功推导出了斐波那契数列通项公式。纵观整个求解过程，我们用了两次待定系数法构造出了两个等比数列，这便是整个过程的精髓所在。那么，止步于此了吗？继续深入探讨一下，我们就会发现上述过程中求解常数r和s时，会涉及到二次方程x^2 = x + 1，将其对比斐波那契数列的递推式是不是觉得有几分相似？
实际上，从高等数学的角度来看，上面的递推关系也被称为二阶（齐次）线性差分方程，对应的二次方程被称为特征方程，它的两个（特征）根共同决定了差分方程的解（也即数列的通项公式）。
比如说，对于任意一个数列{a_n}满足a_{n+2} = a_{n+1} + a_n，其对应的特征方程为x^2 = x + 1，求出其两（相异）根r和s，则{a_n}的通项公式可以表示为a_n = C * r^n + D * s^n，其中常数C和D由数列的初始条件a_1和a_2的值共同决定。有兴趣的同学可以自己举个例子试试。