你也能懂的广义相对论基本原理
项海波
中科院物理所
2023-10-20 12:14:19
转自公众号：中国科学院理论物理研究所
用两句话概括广义相对论
从内在逻辑来看，广义相对论 (general relativity) 包含两个方面：i. 时空是弯曲的，其中 (自由降) 质点按此弯曲时空的类时测地线进行运动；ii. 时空按 Einstein 场方程 (EFE) 进行弯曲，不同弯曲时空是 EFE 在不同条件下的相应时空解.
其中第二方面，需要大量动用相关数学工具–主要即微分几何，才可进行深入研究；是所有广义相对论教材的主要部分，本文就不打算介绍了；而第一方面，却可以尽量用人类的自然语言定性地讲明白；本文即致力于这一任务的达成. 当然，其中必然无法完全避免微分几何中的一些基本概念，如同胚/同构/微分流形等等；但不用紧张：哪怕尚未严格地学习过它们，读者诸君对这些概念的 “道听途说” 来的一知半解的把握，对于实现本章的目的而言，就已足够使用.
流形，一般坐标变换，广义协变性
以二维球面为例，若不单把它视为嵌入三维 Euclidean 空间的弯曲的几何对象，同时也将之视为某种广义的空间本身，则在这种观点下，就可并不平庸地得出：空间本身就是可以弯曲的. 因为这种理念上的 “进化”，作为空间的几何对象，或作为几何对象的空间，就有必要被赋予一个新的名字，称为流形 (manifold). 某流形上，一般并不存在可以覆盖全局的坐标系；而它上面的某一块 (开) 区域，则可被多套不同的坐标 (多张不同的卡) 所覆盖；两套坐标之间的变换，称为转移映射 (transition map)，或一般坐标变换 (general coordinate transformation)。
在此一般坐标变换下：生活在流形上的合法的几何量，将作相应的或 “协同的” 某种变化，称是协变的 (covariant)；而几何量之间的方程，其形式结构应保持不变 (invariant)；这两件事，称为几何规律的广义协变性 (general covariance).
狭义相对性原理，平坦坐标变换，Lorentz 协变性
狭义相对论说：对于任意惯性参考系 (无引力时空中的不受力参考系)，物理规律都应当具有相同的形式结构；对于物理规律，任意惯性系都应当是等价的；或者说：对于惯性参考系变换，物理规律的形式结构保持不变；这称为狭义相对性原理 (special principle of relativity).
物理上的 “惯性系-惯性系” 变换，在数学上，就是在同一个时空 (Minkowski 时空) 中，从平坦坐标到另一套平坦坐标之间的一类坐标变换，即 Lorentz boost；也就是上节一般坐标变换的简单情形.Minkowski 时空中的合法的时空几何量，具有关于 Lorentz 的协变性，称为 Lorentz 协变性；三个方向上的 (事实上还包括三个 rotation 操作) 形成一个群，称为 Lorentz 群，是为 Minkowski 时空的对称群 (的保定点子群).
于是至此可见：狭义相对性原理，在数学上，也就想当于做了这样一个大胆的论断，即把某个空间 (此处即 Minkowski 时空) 的协变性由几何量推广到了物理量；具体地说就是：物理规律，也就是物理量/方程，如同时空几何量/方程一样，也应当以 Minkowski 时空为背景，关于坐标变换保持协变/不变；即具有 Lorentz 协变性，以 Lorentz 群为对称群.
惯性系-非惯性系变换，时空流形化，广义相对性原理
常常易容易被忽视的是：狭义相对论不仅研究了惯性系变换，事实上也研究了惯性系与非惯性系之间的变换；后一方面，集中反映在关于四维匀加速参考系的工作之中；结果表明：物理上的 “惯性系-非惯性系” 变换，在数学上，就是在同一个时空 (Minkowski 时空) 中，从平坦坐标到另一套 “弯曲” 坐标，即 Rindler 坐标，之间的一类坐标变换.
在加速者视角下，有资格认为他所身处的这个由这套 “弯曲” 坐标所描述的时空区域 (即 Rindler wedge) 本身，就是 “弯曲” 的；非惯性系中的自由降运动，为 “弯曲” 时空中的类时测地线 (time-like geodesic). 由此可见：非惯性系及其中的自由降运动，可以纯以几何语言进行刻画，而不用再像经典力学那样，借助于 “惯性力” 与 Newton 第二定律等这些概念或原理；这套对非惯性系/惯性力的几何化描述方案，可称为惯性力几何化.
现在，就可以请出所谓广义相对性原理 (general principle of relativity) 了；它很简单，就是对狭义相对性原理由惯性系到任意系的直接推广：对于任意参考系，基本物理规律都应当具有相同的形式结构；对于基本物理规律，任意参考系都应当是等价的；或者说：对于 “任意系-任意系” 变换，基本物理规律的形式结构保持不变.
背景独立，微分同胚协变性
广义协变性与广义相对性原理，即如下陈述–互相等距的不同的坐标系，使几何/物理方程按其变换具有相同的协变性，不改变物理方程的形式结构”，又可总结为：基本的几何/物理规律是坐标无关的，或背景独立的；一般认为，这是在物理观念上，广义相对论给予人们的最重要的启示之一.
等效原理，有引力存在的时空 = 弯曲时空
在经典力学中就已知晓：惯性力与引力具有某种相似性；所谓等效原理 (equivalence principle) 的作用就是，以宣称它们局域等效的形式，系统地总结了这件事. 具体地：静止于引力场中的参考系，可视为 (无引力时空中的) 局域非惯性系；在引力场中作自由降的参考系，可视为 (无引力时空中的) 局域惯性系；进一步，这就意味着：在于其中作自由降的观察者看来，引力可被局域抵消；有引力存在的时空，具有局域 Lorentz 协变性.
接下来，就是等效原理登场的时刻了–它不但将给出时空的确是可以弯曲的，而且将给出什么样的时空是弯曲的. 具体逻辑过程如下–既然非惯性系等价于 “弯曲” 时空，对惯性力作用下物体运动的描述，可以诉诸相应弯曲时空的类时测地线，而不请出惯性力这个概念，那么，以等效原理为桥梁，即可得出如下论断：有引力存在的参考系等价于弯曲时空，对引力作用下物体运动的描述，可以诉诸相应弯曲时空的类时测地线，而不请出引力 (gravity) 这个概念；再考虑到它们的关键区别–引力只是局域地等效于 (无引力时空中的) 惯性力–又可进一步得出：不像惯性力对应的 “弯曲” 可被全局抹平，引力所对应的时空弯曲，只能被局域抹平，不可被全局抹平；从而是确确实实的，是非平庸的；总而言之：经典语境下有引力存在的时空，就是几何语境下的弯曲时空.
“物质” 导致时空弯曲，时空动力学
既然有引力存在的时空等价于弯曲时空，那么，时空的弯曲，是由什么导致的？
在 Newton 经典引力理论中，物质导致引力 (按万有引力定律)；逻辑地，在现在的几何化理论/范式中，显然应是 “物质” 导致时空弯曲. 更进一步，“物质” 是如何导致时空弯曲的，即它们之间的具体数学表达式是什么，就是新范式下亟须回答的问题了；此问题的实质，就是确定新理论的动力学 (即时空动力学) 方程；其答案，众所周知，就是 Einstein 场方程，是为 Einstein 的伟大贡献之一.
整个广义相对论，可以说就是围绕着 Einstein 场方程的各种时空解 (如黑洞，引力波，宇宙学等) 及对它们的特性分析而展开的；在下章系统学习必要的微分几何知识后，即会着手进行这样的工作. 目前，从哲学上讲，“物质” 导致时空弯曲这件事，相当于使时空变成了一个动力学客体，它可以 “产生”，可以运动变化，甚至可以 “消失” 或 “灭亡”；时空 (spacetime) 并不仅仅是物理规律的一成不变的舞台，而是一个有其自身演化规律的 “活的” 舞台–这是关于宇宙，广义相对论带给人类的最了不起的发现！