在三维语言下验证麦克斯韦方程组具备洛伦兹对称性
上面我们从经典场的作用量/拉格朗日密度所必须满足的一些基本对称性（比如洛伦兹不变性，规范不变性等）出发，利用作用量原理详细地推导了标量场和向量场（电磁场）各自满足的场方程。从这些场方程的四维协变形式（即所谓张量方程的形式）可以非常直观地一眼就看出它们在洛伦兹变换下数学形式不发生改变，即满足狭义相对性原理的要求。
但考虑到四维张量语言本身的抽象性，为了让读者更加信服这些场方程确实是在洛伦兹变换下保持数学形式不变的，在这一节里我们将以电磁场所满足的麦克斯韦方程为例，带大家以最朴素的三维语言的方式验证麦克斯韦方程的洛伦兹对称性。尽管整个验证过程非常繁琐，但是它对于深入理解场的洛伦兹变换以及方程的对称性起到了非常重要的作用。
同时也正是通过这个三维语言下冗长的计算才能让大家真正体会到之前用四维张量语言处理问题所带来的无与伦比的优越性。
为了证明麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下的协变性，我们首先得知道电场/磁场以及电荷/电流密度在洛伦兹变换下是怎么变的。由于电场/磁场是由电磁势定义的，所以我们先看电磁势在洛伦兹变换下是怎么变的，然后由此导出电场/磁场各个分量在洛伦兹变换下的变换规律。
因为电磁势是个4-矢量，所以它在洛伦兹变换下的变换行为与时空坐标的洛伦兹变换行为完全一致。假设我们现在讨论的从S系到S'系的洛伦兹变换只是沿x轴进行的，即：
有了上述电势和磁矢势的各个分量在洛伦兹变换下的结果后，可以将它们代入电场的定义式求出在S'系下电场各个分量的具体形式。其中电场的x分量在S'系下的定义是：代入先前得到的电势和磁矢势的x分量在洛伦兹变换下的结果并应用链式求导法则，我们有：
然后利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，即：
我们可以将上述冗长的关于的表达式大幅简化成如下形式：并可以被进一步简化成：所以我们发现在沿x方向的洛伦兹变换下，电场的x分量在S'系下并未发生改变！
下面我们来看电场的y分量在S'系下的具体形式。和上面采用完全相同的逻辑，先从S'系下电场y分量的定义式出发：代入先前得到的电势和磁矢势的y分量在洛伦兹变换下的结果并应用链式求导法则，我们有：
然后利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，我们可以将上述关于的表达式简化成如下形式：注意到上式第一项对应S系电场的y分量，第二项对应S系磁矢势旋度的z分量（即S系磁场的z分量），所以我们最终得到了S'系下电场y分量的具体形式是：同理，我们可以得到电场z分量在S'系下的具体形式是：
有了上述电场的三个分量在洛伦兹变换后的具体形式，下面我们来看看磁场的三个分量在洛伦兹变换后的结果。和上面处理电场时采用完全相同的逻辑，我们先从S'系下磁场x分量的定义式出发。代入先前得到的磁矢势的y分量和z分量在洛伦兹变换下的结果，并利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，我们有：
所以我们发现，在沿x方向的洛伦兹变换下，与电场的x分量一样，磁场的x分量在S'系下也并未发生任何改变！
下面我们来看磁场的y分量在S'系下的具体形式。和上面采用完全相同的逻辑，先从S'系下磁场y分量的定义式出发，代入先前得到的磁矢势的x分量和z分量在洛伦兹变换下的结果并应用链式求导法则，我们有：
然后利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，同时注意到下式左手边第一项对应S系电场的z分量，第二项对应S系磁矢势旋度的y分量，我们可以将上述关于的表达式简化成如下形式：而S系磁矢势旋度的y分量恰好就是S系磁场的y分量，所以我们最终得到了S'系下磁场y分量的具体形式是：同理，我们可以完全仿照上面的操作流程得出磁场z分量在S'系下的具体形式：
所以，在经历了上面一系列繁琐冗长的计算以后，我们最终成功地得到了从S系沿x方向施以洛伦兹变换到S'系后电场和磁场各个分量的具体形式，总结如下：值得注意的是，上述电场和磁场各个分量的变换结果也可以完全等价地从电磁场场强张量在洛伦兹变换下的变换规律直接导出，即：将上述方程等价地写成便于计算的矩阵形式：这是三个矩阵的连乘。
经过一番冗长的计算后我们最终得到了在S'系下电磁场场强张量的结果是：将上述计算结果与如下标准形式的作对比：在与标准形式做了对比之后，我们容易识别出S'系下电场和磁场各个分量的具体形式是：可以发现这个变换结果和先前从电磁势4-矢量间接地导出的电场/磁场各个分量的变换结果完全一致！
有了电场/磁场各个分量在洛伦兹变换后的数学形式，下面我们来看看电荷/电流密度在洛伦兹变换后的形式。
因为电荷密度和电流密度共同构成了一个4-矢量，所以它在洛伦兹变换下的变换规律与时空坐标的洛伦兹变换规律是完全一致的，即：经过上面的铺垫工作以后，我们现在已经非常清楚地知道了电场/磁场各个分量以及电荷/电流密度在洛伦兹变换下分别都怎么变，而这两者正是麦克斯韦方程组的核心组件。所以下面我们就可以正式讨论麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下的行为，即：我们希望知道它的数学形式在洛伦兹变换下是否会发生变化。
我们首先写下原始的在S系下成立的麦克斯韦方程组：其中上述第一个和第二个方程是从作用量原理导出的带有电荷/电流源的场方程；第三个和第四个方程只是从电场/磁场定义式中导出的数学上的恒等式（即Bianchi恒等式）。接下来我们就来看看在从S系洛伦兹变换到S'系以后这四个方程的数学形式是否会发生变化。我们先从第一个方程开始审视。我们的目标就是看看S'系下电场散度的结果是什么。
将S'系下的时空坐标以及电场的各个分量代入并应用链式求导法则我们有：
然后利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，我们可以将上述方程简化成如下形式：注意到上式第一项括号里的表达式对应S系电场的散度，第二项括号里表达式的后两项对应S系磁场旋度的x分量，然后利用在原本S系下已知成立的麦克斯韦方程组里第一个和第二个方程的结果，我们最终得到了在S'系下电场散度的结果是：值得注意的是，关于上述等式最右边的导出，我们利用了从S系到S'系电荷密度的洛伦兹变换结果。
所以在经过上面一番运算操作之后，我们最终发现在S'系下电场散度的结果刚好就是S'系下的电荷密度，即：而这个方程的形式与原本S系下麦克斯韦方程组的第一个方程的形式完全一致！所以我们成功地证明了第一个麦克斯韦方程具备洛伦兹协变性。
下面我们就来看看第二个麦克斯韦方程是否和第一个方程一样具备洛伦兹协变性。所以我们现在的目标就是看看S'系下磁场旋度的结果是什么。由于对磁场取旋度后的结果是个三维的向量，所以为简单起见，我们不妨先看看它x分量的结果是什么。和上面分析采用完全相同的逻辑，将S'系下的时空坐标以及磁场的y分量和z分量代入并应用链式求导法则我们有：
注意到上式第一项括号里的表达式对应S系磁场旋度的x分量，第二项括号里的表达式如果补上则对应S系电场的散度，然后利用在原本S系下已知成立的麦克斯韦方程组里第二个和第一个方程的结果，我们最终得到了在S'系下磁场旋度x分量的结果是：注意到上述方程的第一项刚好就是洛伦兹变换到S'系下电流密度x分量的表达式，而后两项刚好可以被表示成链式求导法则的形式。
于是方程进一步简化成：当然上面求出的只是S'系下磁场旋度x分量的结果，但是我们可以依据完全相同的逻辑求出磁场旋度y分量和z分量的结果。
所以在经过一番运算操作之后，我们最终发现在S'系下磁场旋度的结果刚好就是S'系下电流密度与电场对时间偏导数的和，即：而这个方程的形式与原本S系下麦克斯韦方程组的第二个方程的形式完全一致！所以我们成功地证明了第二个麦克斯韦方程具备洛伦兹协变性。
接下来我们来看第三个麦克斯韦方程是否和前两个方程一样具备洛伦兹协变性。所以我们现在的目标就是看看S'系下磁场散度的结果是什么。和之前的分析采用完全相同的逻辑，将S'系下的时空坐标以及磁场的各个分量代入并应用链式求导法则我们有：
然后利用从S'系到S系时空坐标的洛伦兹变换关系，我们可以将上述方程简化成如下形式：注意到上式第二项括号里表达式的后两项对应S系电场旋度的x分量，然后利用在原本S系下已知成立的麦克斯韦方程组里第三个和第四个方程的结果，我们最终得到了在S'系下磁场散度的结果是：所以在经过上面一番运算操作之后，我们最终发现在S'系下磁场散度的结果刚好为0，即：而这个方程的形式与原本S系下麦克斯韦方程组的第三个方程的形式完全一致！
所以我们成功地证明了第三个麦克斯韦方程具备洛伦兹协变性。
最后我们就来看看第四个麦克斯韦方程是否具备洛伦兹协变性。所以我们现在的目标就是看看S'系下电场旋度的结果是什么。由于对电场取旋度后的结果是个三维的向量，所以为简单起见，我们不妨先看看它x分量的结果是什么。和之前分析采用完全相同的逻辑，将S'系下的时空坐标以及电场的y分量和z分量代入并应用链式求导法则我们有：
注意到上式第一项括号里的表达式对应S系电场旋度的x分量，然后利用在原本S系下已知成立的麦克斯韦方程组里第三个和第四个方程的结果，我们最终得到了在S'系下电场旋度x分量的结果是：注意到上述方程的右手边刚好可以被表示成链式求导法则的形式。于是方程进一步简化成：当然上面求出的只是S'系下电场旋度x分量的结果，但是我们可以依据完全相同的逻辑求出电场旋度y分量和z分量的结果。
所以在经过一番运算操作之后，我们最终发现在S'系下电场旋度的结果刚好就是负的S'系下磁场对时间的偏导数，即：而这个方程的形式与原本S系下麦克斯韦方程组的第四个方程的形式完全一致！所以我们成功地证明了第四个麦克斯韦方程具备洛伦兹协变性。
所以在经过上面一系列冗长的计算以后，我们终于证明了构成麦克斯韦方程组的所有四个方程均在洛伦兹变换下协变。
可以发现，用三维语言的框架去处理四维时空里发生的物理问题是无比繁琐的。这也是为什么我们希望用更加自然的四维张量语言去直接处理问题的原因。因为在四维张量的语言下，麦克斯韦方程组只是如下所示的一对张量方程：它的数学结构和对称性可以在这种四维张量形式下被看得一清二楚，具有无与伦比的优越性。比如说我们可以一眼就看出这对方程具备洛伦兹变换下的协变性而无需做任何计算。
有了上一节推出的一般形式电场/磁场的各个分量在洛伦兹变换下的结果，我们在这一节里就来看一个具体的例子。考虑一个沿x轴以速度v向右匀速运动的电荷+q，我们现在希望知道在时刻t时它在空间中每点（x，y，z）产生的电磁场是什么样的。对于这个问题，如果我们直接站在地面静止系S去求运动电荷产生的电磁场将会是一件非常复杂的事情，因为此时既有电场又有磁场，且它们之间还存在相互耦合。
但是如果我们站在运动电荷的角度上考虑问题，也就是把坐标系S'设在运动电荷身上的话，那么S'系下的观察者看到的将会是一个最简单的由静止不动的点电荷所产生电场的情形。所以S'系下的磁场自然是0，而电场可以非常容易地根据库仑定律直接写出：相应的分量形式是：
有了上述S'系下电场和磁场的具体形式后，我们可以根据上一节中求得的电场/磁场的各个分量在洛伦兹变换下的结果，得出在地面系（S系）下电场和磁场各个分量的具体形式是【注意：因为此处我们希望从S'系变回S系，而不是从S系变到S'系，所以需要把里头所有的速度v变成-v】：可以发现，在变换到地面S系的观察者以后，电场和磁场的x分量（也就是平行于电荷运动速度v的方向，即纵向方向）保持不变，而它们的y分量和z分量（也就是垂直于电荷运动速度v的方向，即横向方向）均发生了修正。
其中，S系下电场的y分量和z分量均被放大成原来S'系的倍；且不同于S'系，在S系下出现了非零的磁场y分量和z分量！所以从这个例子中我们非常直观地看到电场和磁场并不是相互独立的两个毫无关系的物理对象。相反，它们是同一个物理对象（即：电磁场场强张量）的不同表现形式，且它们可以在不同的惯性系之间相互转化！
下面我们只需要将S'系下电场和磁场各个分量的具体形式代入上述电磁场在洛伦兹变换后的结果，并同时代入时空坐标从S'系到S系的洛伦兹变换结果。
在经过了一番操作之后，我们最终得到了在地面S系下电场和磁场各个分量的具体形式是：有了上述匀速运动电荷所产生的电磁场的背景基础，相信现在大家再去看爱因斯坦于1905年提出狭义相对论的经典论文《On the Electrodynamics of Moving Bodies》（《论动体的电动力学》）将会有更深刻的认识和体会。