众所周知，反向操作是为了节省时间。反问题（又称逆问题）是数学上的侦探类问题。举个例子，反问题是在你只知道一个物体的投影的情况下试图寻找到它的形状。为了解决这个反问题，我们需要建立事件的数学模型。首先理解什么原因导致什么结果，然后我们利用数学模型由已知结果给出可能的原因。就像物体投射下影子，不同的原因（不同形状的物体）可能给出非常相似的结果（有相似的投影）！
反问题广泛应用于打击犯罪、土地或海洋的遥感图像、诊断肿瘤的医学成像、勘探石油等领域。发生一起犯罪案件后，警察必须察看犯罪现场留下的所有证据，然后反推这里发生了什么，是谁做的。通过检查轮胎打滑痕迹可以帮助重建此事故。我们利用数学的动力学对此次案件进行建模，模型将事件的原因（汽车的速度）和结果（滑痕的长度）相联系。
数学可以挽救您的生命吗？
Of course it can! 数学应用在许多与人类健康相关的领域。数学中的反问题也体现于此。从20世纪开始使用X射线开始，现代医学就严重依赖于成像方法。成像方法基本上有两种形式：X射线和超声波方法使用位于人体外部的辐射源，辐射穿过人体后被探测器接收，并根据其被吸收的方式形成图像。
当使用X射线时，这一过程被称为计算机轴向断层扫描(computerised axial tomography，简称CAT)。
在深入研究医疗科学原理前，我们先从一个数独游戏的例子讲起，它阐释了断层成像的原理。想象一下，有一个以3×3网格排列共9个小格的托盘，托盘的每个小格都有一个瓶子，它可能装有牛奶或果汁或空瓶子。问题来了：这些小格中分别是哪种类型的瓶子？
值得注意的是，我们只可以从侧面观察瓶子，并可以测量不同方向吸收了多少光。对于一个数学家来说，我们陷入一种不寻常的境地---我们对同一个问题有两个完全合理的解决方案。这样的问题称为不适定问题，这种情况在我们试图从图像中提取信息的情况下是很常见的。
当X射线穿过人体时，它沿直线移动，并且其总吸收量是它通过的不同材料吸收量的总和。要具体了解怎么吸收，我们可以利用微积分。假设X射线沿直线移动，并且进入人体的距离为x时，其强度为I。随着x的增大，X射线被吸收，I减小。现在，如果X射线移动了一段非常短的距离Δx，强度的减小量为ΔI。这种效应取决于X射线的强度和材料的密度μ，假设Δx足够小，那么：ΔI=-μIΔx。
射线的初始强度为I0，最终的强度为I，我们结合所有导致X射线强度降低的因素，则：I=I0e^(-μx)。且X射线的衰减信息可以反映人体的一些信息。下图，我们看到由多束X射线照射的物体。在此，一些X射线穿过所有物质并被强烈吸收，因此它们的强度（记录在探测器中心）很低，而其他X射线则穿过较少的物质。物体有效地投射出X射线的阴影，由此我们可以计算出它的尺寸。
然而，计算机轴向X射线断层扫描的原理在于，通过观察尽可能多的X射线的衰减，发现更多身体的信息，而不仅仅是它的尺寸。因此，我们需要考虑不同角度θ和到物体中心的距离r处的X射线的数量。参见下图：X射线的位置为r，其光密度为μ，则：I(r)=I0e^(-∫μ(x)dx)。其中r为X射线的距离。在这种情况下，μ被称为函数μ的拉东变换（拉东变换）。越大，该方向的X射线被吸收的越多。
这一变换是CAT扫描仪和X射线断层扫描的核心问题。它是由约翰·拉东（Johann Radon）于1917年首次提出。通过从尽可能多的角度测量X射线的衰减，就有可能高精度地测量这个函数。换句话说，如果我们得知函数μ，那么我们可以重建出μ吗？顺带提一句，这与上一节我们的牛奶问题完全相同。回答是肯定的，只要我们能够进行足够精确的测量。找到μ的一种方法称为滤波反投影算法,在此不赘述了。
以上只是两个反问题的例子，数学可以帮助我们从结果中反推---无论是汽车打滑的痕迹还是来自CAT扫描中检测到的X射线。在很多地方都可以利用反问题来节省时间！