导语
今天，“分形”的意思、其解析理论及计算方法在数学、自然科学和工程技术领域里可以说是家喻户晓，因而在这里无需多费笔墨来加以定义和描述。然而，漂亮的分形到底有什么实用价值，特别是在电子技术中有什么可能的应用，也许需要举几个例子来加以诠释。
从分形故事说起
二十世纪六十年代，当时在美国IBM Thomas J. Watson Research Center工作的法国裔（波兰出生）数学家本华·曼德波罗（Bernoit B. Mandelbrot, 1924-2010，见图1）探讨了“英国的海岸线有多长”这个有趣的问题。
他注意到，如果用公里作为测单位，从几米到几十米的一些曲折地段会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但一些厘米量级以下的曲折地段还是不能反映出来；进一步，从理论上来说，海边沙砾的下一个尺度是分子、原子，于是要使用更小数量级的尺度的话，得到的海岸线总长度就很不一样。因此，长度不是海岸线的与尺度无关的不变量。这当然只是一个平凡的观察。
但是，平凡的观察加上不平凡的思考，让曼德波罗引进了“分数维图形”的新概念，建立了今天熟知的分形几何理论。
分形天线分形天线是一种无线通信用的新概念天线。和传统天线相比，它在同样面积或体积的条件下具有最大的有效长度或周长。这种天线具有极端紧凑和多宽频带等特性，非常适合于RFID和移动通讯方面的应用。由于现代通信工具种类越来越多，体积也越来越小，因而需要把天线做得很小很小，而且越小越好。
为此目的，把天线的形状做成分形是个好主意，因为这可以在同样面积的限制条件下把天线做得很长，而且还能取代多条天线而同时工作在几个不同频率区间之中。
分形电容分形电容器设计的基本思想和分形天线是一样的。理论上，前者是在有限的面积内获得无限长的曲线以增加天线的有效长度，后者则是在有限的体积内获得无限宽的曲面以增加电容器的储电容量。
研究发现，在传统的电容器中把部分纵向的相反电极分布改为横向可以有效地提高其储电量。如图8所示，中间的电容器结构要比顶层的那个储电量高，而底层的那个结构储电量更高。图9是根据这个思想设计出来的一个分形电容器的示意图。图10则是分形电容器的原型。
相关的分形数学
说到分形天线和分形电容器的数学思想和原理，还得从Peano曲线（诞生于1890年）和希尔伯特（Hilbert）曲线（诞生于1891年）谈起。这两种曲线如图14所示。这类曲线通过反复迭代而不断卷缩并延长。例如，希尔伯特曲线的第n次迭代的长度是2n-2-n，可见其长度趋于无穷。有趣的是，这些貌似一维的曲线的Hausdorff维数是2而不是1，也就是说它们最终可以充满整个方块。
结束语
应该说，分形几何在自然界、物理学和工程技术中的应用还只是初见端倪。除了大家已经很熟识的植物枝干叶子构成的分形、陆地迂回曲折的海岸线形成的分形之外，在人体内血管的分布和大脑的皱褶等地地方，你都能够看到各种分形或者类似分形的几何特征。