陶哲轩在他的博客中根据学术生涯各个阶段对文章进行划分，本译文仅为部分内容。
1. 数学不只是分数、考试和解题套路。对一个本科生来说，成绩平均绩点和考试很重要。而比起对概念的真正理解或者理智的、直觉的思维，考试往往更强调对技巧和理论的熟记。然后，你进入研究生阶段以后，你会发现，更高层次的数学学习 (更重要的，数学研究) 更需要你的智慧 (intellectual faculties)，而不只是记忆或者学习的能力、或者生搬硬套一些现有论证或示例。
2. 数学不只是严密和证明。学校刚教授本科生数学时往往用一种直观的，不是很正式的方法 (比如用斜率和面积来表述导数和积分)，再然后被告知要用更精确和正式的方法 (比如用 epsilon 和 delta 描述导数) 来解决和思考问题。知道怎么样严格地进行推理当然很重要，因为这可以让你避免某些常见错误、排除一些错觉。
3. 努力（Work hard）。事到临头，依靠聪明临门一脚或许能成功一时，但通常在研究生或更高的层次学术研究中，这样做往往不行。学习数学的任何领域都需要进行一定量的阅读和写作，而不只是思考。与公众通常认为的相反，数学上的突破并不是只依靠（或主要依靠）天才们的 “我发现了”（Eureka），而是由经验和直觉来指引的大量艰苦的工作来推进的。
4. 享受 (enjoy) 你的工作。某种意义上这是前面的推论。如果你不享受自己正在做的事情，就很难长期保持活力去取得成功。最好是从事那些你喜欢的数学领域，而不只是赶时髦。
5. 不要基于出名和魅力作职业决策。仅仅因为魅力（glamour）进入某个领域或者院系不是个好主意。仅仅因为有名而紧盯着一个领域最有名的问题（或数学家）也不好。数学里没有那么多名声和魅力，把这些当做你的主要目标来追求也不值得。
6. 学习、再学习。干了这行，就永远不要停下学习的脚步，即使在你的专长上。比如，我坚持学习关于基本调和分析 (harmonic analysis) 的一些令人惊叹的内容已有 10 年了，虽然我在这方面已经写了一些论文。
7. 不要畏惧学习领域之外的东西。在社会上，对数学恐惧很普遍。不幸的是，在职业数学家中有时也存在这种现象。如果为了在你研究的问题上取得进展而不得不学习一些额外的数学知识，这是个好事 —— 你的知识范围将会扩大，你的工作将更有趣，无论是对你的研究领域中的人还是那个其他领域的人。
8. 了解你所使用的工具的局限。数学教育（和研究论文）都聚焦于能起作用的方法（当然这也很自然）。但知道工具的局限性也同样重要。这样就不会在一个起初就注定废掉的策略上浪费时间，而是去寻找新的工具解决问题（或者去解决其他问题）。
9. 学习其他数学家所用的工具。这条是前面论述的推论。当听他人谈话或者阅读论文时，你会发现自己感兴趣的问题被不熟悉的工具解决，而这种工具似乎不在你自己的 “锦囊”（bag of tricks）里。
10. 默默地问自己，然后回答。当你学习数学时，不管是看书还是听课，通常你只看到最终结果 —— 非常完美，高明和优雅。然后数学发现的过程却往往非常混乱，很多尝试很幼稚、没有成果或者了然无趣。
11. 质疑自己的工作。如果你意外地发现自己几乎不费吹灰之力地解决一个问题，也不太明白为什么，你应该带着怀疑的眼光重新审视你的解决方法，特别是你所用的方法可能能证明更强，却早已知晓是错误的结论。而这就意味着你所用的方法有瑕疵。