镶嵌图案，也称为密铺，是一种用多块具有相同几何形状的瓷砖不重叠也不留空隙地铺满地面或墙壁的技术或艺术。生活中人们使用具有某些固定几何形状的片块组装出各种各样复杂美观的图案。镶嵌的历史可以追溯到公元前4000多年，那时苏美尔人已经开始用粘土瓦片去装饰他们的房子和神庙。
之后，这种技术和艺术经历了埃及人、波斯人、罗马人和希腊人的传承，到拜占庭人、阿拉伯人、中国人、日本人和摩尔人的发展，期间不断地被加入不同时代和不同民族的不同宗教、文化和艺术元素。从中世纪开始，特别是到了19和20世纪，人们开始从数学理论特别是图论的角度来研究和设计各种复杂的镶嵌图案。其中最有代表性的是荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔及英国数学物理学家罗杰·彭罗斯和他的父亲的多种奇妙设计。
平面上任何一种形状的基本瓷砖都称为一个原型块。就使用的原型块数量而言，只用一种原型块的镶嵌称为单面体密铺。这种类型的瓷砖由单一形状组成，也称为单瓷砖。因为它的德文是ein Stein，大家戏称之为 einstein。至于非周期性单面体密铺，那就困难得多了。罗杰·彭罗斯第一个指出，用两种不同的菱形就能实现非周期性密铺。
多年以后，到了2023年5月，一个由英国、加拿大和美国的计算机科学家和数学家组成的研究小组宣称：他们找到了只用一种13边形单面体原型块便可完成的非周期性密铺。一种特别复杂别致的单面体密铺类型是螺旋单面体密铺，在1936年由德国数学家海因茨·沃德伯格发现。基于所用多面体原型块的种类，镶嵌可分为规则、半规则和不规则的。一个有趣的半规则镶嵌图案是拿破仑密铺。
在镶嵌中作数学分析和计算时，通常假定平面是无限的，即在任何方向都没有边界。从而，在一个无限平面上便可以考虑各种对称几何变换，主要包括：平移变换、旋转变换和滑翔反射变换。在镶嵌设计中，人们往往通过各种不同组合的对称几何变换来获得美观的效果。这里当然要记住，不管镶嵌如何设计，它一定要密铺，即铺满整个平面并且没有重叠也不留空隙。
早在1891年，俄罗斯数学家叶夫格拉夫·费奥多罗夫就证明了，使用任何一种原型块，最多可以有17种不同的组合方式去密铺一个平面。1924年，匈牙利裔美国数学家乔治·波利亚独立地证明了同样的结果。数学家们发现，这些组合可以构成某种数学对称群，称为墙纸群。受波利亚的启发，埃舍尔还设计了43种包含这17种不同组合的漂亮镶嵌图案。还有一种是基于非欧几里得几何来设计的有趣镶嵌图案。
显然，在各种组合分类中，颜色也是一个重要的因素，即形状相同但颜色不同的瓷砖是否被认为是不同的？这在艺术设计中通常都没有争议，但在数学研究和讨论中是需要事先界定的。1961年，华裔美籍逻辑学家王浩注意到决策问题与镶嵌问题可按某种方式对应起来。为方便表达他引入了带不同颜色的正方形原型块，后人称之为王浩多米诺骨牌。王浩证明了：图灵机可转化为一组王浩多米诺骨牌。
他还提出了一个多米诺骨牌问题：是否存在一组王浩多米诺骨牌，通过适当的放置让邻接骨牌边缘两侧具有不同颜色，使得它们密铺整个平面？他观察到，如果这个问题是逻辑学不可判定的，那么就等于说必定存在一组非周期王浩多米诺骨牌来实现密铺。当年，这个逻辑学不可判定问题似乎是难以置信的，所以王浩推测该问题在逻辑上应该是可判定的，因而不存在这种非周期图形集合。
1964年，王浩的学生罗伯特·伯杰在他的博士学位论文中证明了：王浩多米诺骨牌问题是逻辑不可判定的，因此导师提出的问题是对的但他猜测的答案是错的。伯杰具体构造了一组20426个非周期性王浩多米诺骨牌。1989年，韩国数学家、前KIAS大学校长Jaigyoung Choe证明了，存在最小周长为的六边形原型块，它可满足这个要求。最后，容易想象，分形图案的镶嵌更为五彩缤纷。但复杂分形的产生依赖于计算机。
今天，计算机辅助生成的分形镶嵌图案琳琅满目。各种图像的网格划分所遵循的镶嵌原则也被应用于塑造屏幕上的图像以获得更好的视觉效果。事实上，图形艺术世界是一个广阔的领域，展示了艺术如何与数学和科学融合，以及如何通过简单图形的重复去生成复杂漂亮的图案，其中色彩斑斓的分形镶嵌尤其引人关注。今天，镶嵌图案理论和技术向高维的延伸和演化以及它们在计算机图形学和材料物理准晶体学等方面的具体应用，其成果极其丰富多彩。
不过，这些有趣的论题已经远远超出了这篇不可能实现密铺的小品文的镶嵌覆盖面了。