1993年6月23日，安德鲁·怀尔斯结束了他的系列讲座，报告厅⾥顿时掌声雷动。怀尔斯刚刚宣布他证明了⼀个困扰了数学家350年的难题：费⻢⼤定理的证明。费⻢⼤定理的形式为：其中n是⾃然数。那么是否存在⾮零⾃然数x, y, z满⾜这个⽅程？当n=2时答案是肯定的，事实上存在⽆穷个这样的三元组，称为勾股数，因为这样的数组满⾜直⻆三⻆形的勾股定理。
17世纪的数学家⽪埃尔·德·费⻢（Pierre de Fermat）认为，当指数n>2的时候上述⽅程不存在整数解。1637年他在⼀本数学书的空⽩处写道，他找到了⼀种极好的证明⽅法，可惜⻚边太窄了写不下。这些潦草的标注嘲弄了数学家很⻓时间——怀尔斯就是其中之⼀。
怀尔斯最终证明了模块化猜想，在⾜够普适的假定下证明费⻢⼤定理也是正确的。1993年6月23日，他公开了他的证明。他是在⼀系列会议结束时公布的，没有⼈知道这是他特意准备的。来⾃剑桥⼤学的科尔纳（Tom K?rner）有幸参与了这次报告，他说道，“各种消息不胫⽽⾛，我不知道⼈们是真的知道，或者仅仅是猜测。因此我问安德鲁的学⽣如果我错过这场报告，我是否会感到遗憾，他回答，是的。现场的⽓氛太令⼈激动了。”
怀尔斯回忆说：“⼀⽅⾯，我对展示(结果)感到⾮常激动，但另⼀⽅⾯，第⼀次(分享我的⼯作)总是会感到紧张。你已经思考这个问题(很⻓时间)了，很多都是你⾃⼰想的，所以你希望你没有犯简单的错误。我知道⼈们想知道细节，但他们⾄少可以看到这是⼀种全新的⽅法，它将证明很多东⻄——尽管它的细节还有待核实。”
事实证明对细节的要求是有意义的:原来的证明中有⼀个漏洞，怀尔斯和数学家理查德·泰勒(Richard Taylor，怀尔斯以前在普林斯顿⼤学的博⼠⽣)花了将近⼀年的时间来修复这个漏洞。但最终，在1994年，由⼀本书⻚边空⽩处潦草的注释所引发的历经⼏个世纪的问题终于得到了解决。
怀尔斯说，费⻢⼤定理在过去引发了两个时期的巨⼤进步:⼀个是在19世纪，在试图证明费⻢⼤定理的过程中奠定了怀尔斯在数学领域的基础，另⼀个是在20世纪80年代，怀尔斯最终证明了费⻢⼤定理。怀尔斯说，这个证明本身开创了⼀个新的领域，“它在模块化处理⽅⾯打开了另⼀扇⻔，这些模块化处理的问题本身开辟了⼀个新的领域，叫做朗兰兹纲领（Langlands programme）——这就是数学的未来。”
即使是向专业的⼈解释朗兰兹纲领也很难，只能说它是由罗伯特·朗兰兹在20世纪60年代提出的⼀系列影响深远的猜想组成的，这些猜想建⽴了不同数学领域之间极其惊⼈的联系。许多⼈认为证明所有这些猜想是现代数学最伟⼤的⼯程。朗兰兹纲领吸引了数学领域⼀些最顶尖的头脑，来⾃剑桥⼤学的索恩就是其中之⼀。当年怀尔斯宣布费⻢⼤定理的证明时，索恩只有6岁，后来在他做数学A级考试的时候对这个结果产⽣了兴趣。
索恩解释说：“这是两个世界，从先验的⻆度来看，我们不清楚他们是否有关联，但是他们以⼀种神秘的⽅式联系在⼀起，就像有⼀根隐藏的电话线。”朗兰兹纲领提供了解决数论问题的新⼯具，索恩使⽤这些⼯具来考虑类似于费⻢⼤定理的⽅程，但更⼀般⼀些：不要求⽅程中所有的系数都是整数。你可以思考⼀下如果系数来⾃更⼤的数域，例如包含⽆理数√2的数域，结果会是什么？
索恩说，对于某些类似的⽅程，该理论可以很好地推⼴，但要进⼀步推动这⼀领域，还需要做很多⼯作。怀尔斯也认为，利⽤朗兰兹纲领提供的⼯具，将我们的算法理论扩展到更⼀般的数域，是未来最重要的挑战之⼀。