虚数可不是数学家⽤想象构造出来的（虚数真的⼀点都不“虚”）。事实是，虚数对我们⽣活的影响远超过任何只是想象出来的东⻄。虚数在现代世界有着重要作⽤：把电送进家庭、⼯⼚还有⽹络服务器集群，如果没有虚数，那么现代世界将不复存在。同学们在向数学⽼师抱怨学习虚数没什么意义之前，不妨试试放下⼿机，关掉⾳乐，拔掉宽带路由器，要知道，这些东⻄都是需要虚数才能⼯作的。
我们知道如何计算⼀个数的平⽅(⽤它⾃⼰乘⾃⼰)，我们还知道负数的平⽅是正数；负负得正，还记得吗？所以(–2) × (–2) = 4。我们还知道平⽅根是平⽅的逆运算。所以4可能的平⽅根是2和–2。虚数就来源于思考–4的平⽅根应该是什么。我们在这⾥发现的，不是什么宇宙深处的奥秘。这个问题真的是⽆意义的吗？如果你算⼀个数的平⽅，⽆论这个数是正数还是负数，结果都是正的，所以你不能对⼀个负数开⽅。
邦⻉利在1572年提出，5 + 中的两项可以被视为两个独⽴的事物，这在他本⼈看来是“疯狂的想法”。“整件事似乎都是诡辩⽽⾮事实，”他说，但他还是进⾏了这样的划分。我们今天仍然这样做，因为它有效。对⾃然界进⾏完全的数学描述要求虚数的存在。邦⻉利的两个不同的东⻄就是我们现在所说的实部和虚部。两者的组合被称为“复数”(这⾥的“复”字就像“军⼯复合体”中那样，指的是实部和虚部的组合，⽽不是复杂或者困难)。
但我们要明确⼀点，如果我们在重温数学的过程中学到了⼀件事，那就是所有数字都是虚构的。它们只是⼀种有助于理解“多少”概念的符号。因此，将“虚数”这个名称应⽤于负数的平⽅根是贬义且⽆益的。也就是说，我们必须承认“虚数”和“实数”间的区别。数学家们所说的实数只是你更加熟悉的数。
请记住，正弦和余弦只是与三⻆形内的⻆度相关的⽐例(⼀个数字除以另⼀个数字)，这些⻆度可以表示为π的分数或倍数（以弧度为单位）。
因此，我们在这⾥发现的并不是宇宙深处的谜团，⽽是⼀组清晰且有⽤的关系，这些关系是以各种不同⽅式定义数字的结果。事实上，这些关系不仅是有⽤的，⽽且可以说是⾄关重要的。以它们在科学中的应⽤为例：对⾃然的完整数学描述似乎需要虚数的存在，我们已经⾮常了解的实数是不够的。实数必须与虚数结合起来，形成邦⻉利⾸次创造的“复”数。