昨晚，我在秋名山输给了一个沙发，它的排水沟过弯法是如此的出神入化。虽然上面的开头略显诡异，但实际上设计沙发在狭窄的走廊里转弯，到现在都是数学家们没有解决的难题之一（数学家：不是我们不努力，奈何沙发太狡猾）。在网购变得如此方便的今天，网上买个沙发啥的根本不是新鲜事。不过在买的床太大了进不了门，买的沙发太长了过不了走廊……看着买的东西进不了自己的家门的时候，真的是忍不住想哇得一声哭出来。
《老友记》S05E16，罗斯搬家，找了瑞秋和钱钱来帮忙。所以今天我们就来讲一讲，沙发过弯背后，不为人知的秘密。
沙发问题（Moving Sofa Problem）看起来真的是人畜无害，哪怕是小孩都看得懂这个问题在讲些啥：L形的直角转角的走廊内，能通过的最大沙发的面积有多大？
另外这个问题要求沙发完整地在平面内移动，不要想什么挤一挤，压一压，拆开再组装，更别想把沙发立起来这种骚操作了（否则就会问你最大体积了不是么）。这个问题最早在1966年由数学家Leo Moser正式提出，从此就一直驻留在未解数学问题的名单上，直到现在还没有解决……像这种看起来很友好，但真正算起来的难度大的吓人的堪称史上最贱数学题的远不止这一道。
为了方便大家更好地理解搬运沙发的困难，我们可以把沙发想象成车辆，现在要做的事情是找到最大的可以过弯的车子。简单起见，先从「正方形」入手。就和光滑斜面上的滑块一样，沙发可以轻松地通过这个转角，其实这应该也是最容易想到的方案。可惜，现在这个形状的「沙发常数」只有1。可以看到，正方形的平移过弯法显然已经达到了平移的极限，无论是更长的，还是更宽的沙发，都无法再塞进这个转角处。
这个转弯的过程也启发我们充分发挥「车技」，让整个沙发转起来。
在半圆形的沙发中，我们利用1/2个圆周完成过弯。但其实，我们可以把这个1/2圆周再一分为二，从一辆普通轿车升级成一辆加长豪华轿车，从正常过弯变成漂移过弯。猫和老鼠（Tom and Jerry）第128集忧郁的猫中被超长豪华轿车无情碾压的汤姆。当然，这种思路是可行的，数学家John Hammersley就提出了一个更像沙发的沙发。
他把上面的半圆形沙发整体拉长，然后再在中间根据顶点处所需要的空间抠掉一部分。最后的整体形状就像下面这张图这样。
在沙发问题里面还有另一个有趣的事情，人们至今还没有证明满足最大沙发常数的沙发在通过转角处时一定要转过90度。其他的遐想，在原来的沙发问题求而不得的情况下，人们也去研究了其他的更为一般的情况。比如修改一下转角的角度，让它不再是90度。或者增加往另外一个方向拐的转角，看其沙发形状应该是啥样的。比如这个由Dan Romik提出的眼镜形的沙发，就可以连续地通过往左旋转90度和往右旋转90度的转角。
在沙发问题的背后，或许还有着更为深刻的数学，更为神奇的方法等待着人们去发掘。不过现在，在这个冬天的周日，就先懒洋洋地在沙发上躺一会吧。