数学是科学吗？答案⼀⽅⾯取决于什么是“数学”，另⼀⽅⾯也取决于什么是“科学”。⼀部分德⾼望重的科学哲学家会给出否定的答案，⽽其他⼈会坚信“答案是肯定的”。所以在回答问题之前，我们需要对问题中各个词语的含义达成共识。什么是科学？给“科学”下定义本身就是个相当棘⼿的问题。
⼈们很容易就会说到“科学”（⽆论有没有前缀和后缀）和“科学的”，但⼤多数⼈很难就什么称得上是科学问题⽽什么不是科学问题提供⼀个能⾃圆其说的答案。
科学是⼀种认识论形式，就像任何好的认识论⼀样，它试图区分真实陈述和虚假陈述，从⽽实现知识的积累。科学与其他认识论的⼀个主要区别是它是 a) 系统的和 b) ⾮教条的。⼀⻔正确的科学必须具有证实其主张的⽅法以及识别和拒绝错误主张的⽅法。这些⽅法也应该是系统性的。
数学看起来不太符合这个定义：公理⾮常接近教条，它似乎不在乎真与假，甚⾄不在乎外部世界；数学有证明，但似乎没有实验；数学不遵从科学⽅法。不过，事实真的如此吗？
绝⼤多数⼈从未接触过现代数学研究。⼈们或许知道数学是处理⽅法、算法和规则的集合（⽐如⼆次⽅程的求根公式、求导数的规则和乘法法则等），或者可能知道欧⼏⾥得（Euclid）的公理化模型（引理、证明，定理、证明，推论、证明，所有这些都基于已知的抽象概念和“不证⾃明”的公理）。但事实上，数学并不是上述⼆者，尽管有些时候它接近于这些直观印象。
直到 19 世纪，从事“抽象数学”的⼈都被称为⼏何学家，他们通常是哲学家、业余爱好者或利⽤空闲时间研究相关内容的物理学家和数学家。主要的数学著作要么涉及类似于欧⼏⾥得的突破进展，要么是对于解决具体问题的⽅法和算法的总结归纳（例如丢番图和斐波那契的著作）。⼏乎所有其他做数学的⼈也都在做物理。
事实上，直到1800年代早期，最著名的数学家都以某种⽅式与物理学联系在⼀起：⽜顿、伯努利、傅⾥叶，甚⾄费⻢；数学家王⼦⾼斯的正式职位是天⽂学家，他在物理学⽅⾯做了⼤量⼯作。那时的数学与物理混在⼀起。
在接下来的 19 世纪，转折出现了。数学开始作为⼀个独⽴的学科发展起来。⼀⽅⾯，这与过去积累下的⼀些问题有关：微积分中的基础问题、使⽤幼稚和直观概念进⾏证明导致的疑难、以及⾮欧⼏何的发现。另⼀⽅⾯，它也有赖于新思想和新⽅法的爆发：群论、复分析和代数的开端，以及世纪之末的朴素集合论的发展（后来被公理化变体取代）和⾮构造性存在证明的出现（最著名的是希尔伯特的有限基证明）。
在这场危机中，物理学和数学之间出现了裂痕。虽然⼤多数数学家仍然致⼒于解决源⾃物理学的问题，并且⼤多数物理学家仍然解决数学问题，但他们的重点有所不同。总的来说，物理学家不太关⼼基础问题，因为微积分及其推导显然有效。这些疑难、悖论和⽭盾对哲学家来说可能很有趣，但它们并不是⼈们在“真实”问题中可能遇到的事情。然⽽，数学家们⾮常关⼼这些问题，并努⼒尝试将他们的⼤厦建⽴在坚实的基础上。
在这场危机中，出现了两个主要的数学思想流派，克罗内克学派和希尔伯特学派。它们都同意数学需要建⽴在更坚实的基础上。克罗内克学派相信算法和处理⽅法是数学的核⼼，这些算法或⽅法来⾃于⼀些基于经验现实的明确定义的概念；这⾥的“经验”必须模糊地理解：克罗内克的著名格⾔是“上帝给了我们整数；其余的是⼈的⼯作”，这意味着他认为（可能是⽆限的）整数集合是⼀个“经验现实”。
他们被称为“建构主义者”、“直觉主义者”或“形式主义者”。对于希尔伯特学派来说，⾃洽性和趣味性才是最⾼标准。⼀个数学理论应该建⽴在明确陈述的公理和规则的基础上，但问公理是“真”还是“假”是没有意义的。他们认为，唯⼀必要的问题是：(i) 是否有可能使⽤公理和规则来证明⼀个命题及其否命题？(ii) 由此产⽣的理论是否有趣？如果分别给出了“否”和“是”的回答，那么这个理论将被认为是可以接受的。
（问第⼀个问题的原因是，在经典逻辑的规则下，如果⼀个命题和它的否定都可以证明，那么任何东⻄都可以证明。这样的理论，显然是既⽆趣也⽆⽤的。）
最后，⼤多数数学家接受了希尔伯特学派的观点。主流数学家将数学描述为遵循经典欧⼏⾥得公理的模型。也许可以在布尔巴基的作品中可以找到⼀些典型的例⼦。它还极⼤地影响了数学论⽂的写作和⾼等数学的教学⽅式。后⾯还会更详细地说明。
如今，数学被粗略分为两种：应⽤数学和纯数学。应⽤数学是由实际问题抽象出的数学，⽐如统计和微分⽅程等。纯数学处理理论框架产⽣的问题，通常只关于数学。然⽽，这种区别在很⼤程度上是⼈为的。例如，数论曾⼀度被认为是最纯粹的纯数学，是绝对不可能有实际应⽤的数学分⽀。然⽽，近年来，它已成为现代密码学的基⽯，并发展出⾮常强⼤的应⽤分⽀。介绍上⾯这些内容有什么意义？
嗯，关键是希尔伯特学派在 20 世纪和今天对数学产⽣了⾮常⼤的影响。当⼀个⼈研究数学时，这种影响反过来⼜有助于产⽣和推崇⼀种特定的写作⻛格。这就是许多⼈都知道的枯燥的定义-引理-定理-推论⻛格。这种⻛格的“问题”在于它掩盖了数学是如何完成的。从事专业研究的数学家不会先写出定义，然后写定理及其证明，中间还将某些关键步骤作为引理分开。研究论⽂和书籍中报道数学的⽅式与数学实际的研究⽅式⼤不相同。
这种流⾏⻛格导致除了专业的数学研究⼈员之外每个⼈都倾向于对数学的研究⽅式有偏⻅。这反过来⼜导致⼀些哲学家得出结论，数学不是⼀⻔科学，因为它的⽅法（显然）与其他经验科学的⽅法如此不同。我将在下次⽂章论证，⼀旦我们超越了写作⻛格所提供的表象并真正接触到数学的研究⽅式，那么这个结论实际上是毫⽆根据的。
这种⻛格的另⼀个影响是，希尔伯特学派从⼀开始，尤其是在⼽德尔（Goedel）、图灵（Turing）和丘奇（Church）等⼈的⼯作之后，就放弃了“真”和“假”的观念，转⽽⽀持“可证明”、“可证伪”和“不可判定”的观念。我们对科学的定义⾮常强调真理，因此似乎也可以得出这样的结论，只要数学似乎⽆论如何都不关⼼真假，它就不能被视为科学或科学的探索。
在下篇⽂章中，作者将会介绍希尔伯特学派叙事⽅法对数学的影响，并从本质上分析数学到底算不算⼀⻔科学。精辟的分析、有趣的结论，敬请期待下周的翻译专栏~