当伟大的数学家艾萨克牛顿用折射来解释彩虹的颜色的时候，诗人约翰济慈吓坏了。济慈（当然，是以诗歌的方式）抱怨数学解释夺走了魔法般的自然界中的奇迹，“用准确的规则征服了一切神秘”。但是我们将看到，这个数学解释正如彩虹本身一样优雅，而且仅仅需要基本的直线和圆的几何概念。
彩虹的颜色是折射的结果。就像自然光透过三棱镜那样，折射会将自然光分成不同的组分。从太阳发出的白光是多种不同频率电磁波的组合。当频率混合的电磁波同时射到眼睛上时，你看到的是白色，但是当你的眼睛捕捉到独立频率的波时，你感受到的会是某个特定的颜色。
当一束阳光照入射到球形水滴上时，其中的一部分会被水滴的表面反射，但另一些会进入水滴内部。当光线射入水滴时，光线会产生弯曲或者说“被折射”——这与把吸管插入水杯中吸管出现弯折的现象是一样的。之后光线继续前进，一直到达液滴的背面。一部分光将射出水滴，而另一部分会被反射回去，从另一侧离开液滴，并且在此过程中再次被折射。
当来自太阳的光在真空（和在空气中传播非常接近）传播时，所有频率的光都以相同的速度c传播，大约每秒300,000公里。当光线进入水中时，频率（相应的颜色）将保持不变。然而，光的速度会发生变化，而变化的多少取决于它的频率。这是因为水的原子结构与不同频率的波产生了不同的相互作用。我们采用折射率作为速度随频率变慢的量度。
斯涅尔定律描述了不同频率的光进入液滴时的弯曲程度。根据斯涅尔定律，折射光线位于由入射光线和入射点处的法线构成的平面内——法线是通过入射线和液滴表面交点且垂直于液滴表面的直线。由于我们假设了液滴为球形，本例中的法线就是连接液滴球心和入射点的半径的延长线。
然而为什么我们看到的彩虹中的每种颜色都呈现完美的圆弧状呢？要搞清这个问题，设想来自太阳的平行光线入射在空气中的某个水滴上。利用斯涅尔定律和反射定律（入射角等于反射角），我们可以计算出第一次以α角入射液滴的光线偏转了多少度（）。换句话说，入射光线经过折射、反射然后再次折射后旋转了多少角度（见图4）。当然，对于不同频率或颜色的光，该角度会有所不同。
你的眼睛能够捕捉到来自每个液滴的出射的红色彩虹线，所以你会看到空中的每一个液滴上都有一个红点。而在天空中什么位置看到这些液滴取决于你。我们首先计算出Df(α)的准确值。求解Df(α)以得到最小值，有α=sin-1(n/√(n²+1))。将n=1.33代入（给定红色光线），得到α=45°，Df(α)=42.52°。
同样的推断对光谱中其它所有颜色都适用：它们都会呈现出圆弧形状。但是，对每种颜色，不同的折射率会给出不同的彩虹角。例如，对于折射率为1.34的紫光，有α=45°，Df(α)=40.78°。因此，彩虹会以一系列按折射率的顺序套在一起的颜色圈呈现出来，或者，等价地来看，按照频率的顺序：红色在顶端，紫色在底端。
这个解释还说明了为什么你只在背对太阳的时候看见过彩虹：只有这种情况下你才能看到来自液滴的彩虹光线。这同样解释了为什么天空在彩虹下方比在上方看起来更明亮。由于绝大多数离开液滴的光线都比彩虹射线高（请参见图6），因此你将看不到彩虹“上方”（即，各种颜色的圆锥体之外）的液滴中的任何光线。从而，你将看不到任何来自这些液滴的反射光。
然而，你的眼睛的确能捕捉到彩虹“下方”的水滴（位于圆锥体内的水滴）中的反射光，正是这种光使彩虹下面的天空显得更明亮。彩虹下方的光线之所以看起来是白色的，是因为来自不同液滴并进入你的眼睛的这些不同颜色的非彩虹线混合在了一起。