我们能听出鼓的形状吗？这个问题有一个更加简练，更加广为流传的版本：我们能听出鼓的形状吗？(Can one hear the shape of a drum？) 而这也是数学家Mac Kac于1966年那篇著名的文章的标题。为了从数学上考虑这个问题，我们必须把问题重新表述一下。什么是鼓？首先，一个鼓面的振动由什么方程描述？我们可以想象一下，把一个膜拉伸套在一个刚性支架上，这样就形成了一张二维的鼓。
这张二维的鼓的振动是由波动方程描述的，同时因为鼓面的边缘牢牢地贴在刚性的架子上，我们可以认为波动方程的边界条件是狄利克雷边界条件。如果我们用函数F(x,y,t)来描述鼓面处于位置(x,y)处的点在t时刻于z方向的偏移量，那么鼓面的波动方程就可以写为，分离变量F=U*exp(iωt)，化成本征值问题其中U(x,y)是鼓在z方向的偏移量，v是鼓面的波速，在这里是一个无关紧要的常数。
ω是振动频率，Γ是鼓的边界。为了简化我们的记号，我们可以认为我们研究的方程具有如下形式：其中Ω表示鼓的内部，λ是拉普拉斯算子的本征值，与之前提到的鼓的本征频率是一一对应的。那么，数学上“听鼓辨形”则可以表达为，如果我们已知某面鼓的所有本征值，我们能否唯一地确定鼓的形状Ω和Γ。所以数学家提出的问题是，如果我们知道了一张鼓的所有振动频率，我们能唯一地确定鼓的形状吗？
在揭晓答案之前，让我们将目光放在Kac 1966年的文章中，去看看一些物理上的直觉能够给我们带来哪些有意思的结果？正如Kac在他的文章里提到的那样，类似拉普拉斯算子在某个区域内的本征值问题最早可以追溯到Weyl那个年代，如果我们给定一个λ，考虑本征值小于λ的个数，即考虑函数Weyl证明了当λ→∞时，这意味着如果我们知道了鼓的所有本征频率，我们至少可以知道鼓的面积。
让我们稍微仔细观察一下Weyl得到的结果，拉普拉斯算子在一个鼓上的本征值的分布，当本征值很大时，分布在区间[λ,λ+dλ]内的本征值的个数正比于鼓的面积，而与λ无关，与鼓的形状也无关。
总之，我们现在至少可以确认我们能够听出鼓的面积。但我们能够听出更多的信息吗？
事实上，我们可以利用同样的类比继续考虑这件事情，假设在扩散问题中，物质一开始集中的地方非常靠近边界，即我们的初始条件里的ρ非常靠近区域的边界，那么此时在开始非常短的时间t内，一条直线构成的边界条件应当是非常好的近似，于是我们可以得到，其中Pl(ρ)是l(ρ)以直线作为边界条件得到的解，而其中δ是ρ到边界Γ的最短距离。
对于积分而言，上式中指数衰减那一项将只有非常靠近边界的区域才会有所贡献，稍加计算，可以得到如下公式，右边第一项是我们一开始得到的结果，而指数衰减那一项能够告诉我们边界的周长信息，也就是说，我们可以听出鼓的周长！
以上便是Kac 1966年的文章里的主要结论了，在这篇文章中Kac也表明他还不清楚“听鼓辨形”的终极答案。
直到1992年，Carolyn Gordon、David Webb和Scott Wolpert根据Sunada方法在平面上构造了一对形状不同但特征值相同的区域。这些区域是凹多边形。两个区域具有相同特征值的证明使用了拉普拉斯算子的对称性。Buser等人对这一思想进行了推广，他们构建了许多类似的例子。因此，Kac问题的答案是：对于许多形状，人们无法完全听出鼓的形状。
然而，正如Kac最初的文章那样，我们可以推断出一些鼓的信息。另一方面，Steve Zelditch证明了，如果对具有解析边界的某些凸平面区域施加限制，则Kac问题的答案是肯定的。Gordon、Webb、Wolpert构造的反例，两个不同形状的鼓具有完全相同的本征频率。注意到这两个鼓具有相同的面积和周长。
在实际中，由于鼓的音色是由本征振动模式的相对振幅集决定的，因此仅仅拥有一组完全相同的本征频率并不足以让两个鼓听起来相同。对于每个本征模，它们还需要具有相同的相对振幅，这在实际中可能并不容易实现。此外，人们无法直接听到鼓(鼓膜)的振动。相反，我们的耳朵听的是空气中声波的振动，所以我们还需要考虑声音的传播……这将变得更加复杂。因此，在实际生活中，似乎很难找到两个声音相同的不同鼓。