2022-08-23 13:02:07，中科院物理所收录于话题#翻译专栏#，认真阅读下⾯的⽂章，并思考⽂末互动提出的问题，严格按照互动：你的答案格式在评论区留⾔，就有机会获得由机械⼯业出版社提供的优质科普书籍《氢能⾰命》⼀本。
1889年11⽉30⽇，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）遇到了⼀个问题。因为对⼀个困扰数学家问题的⼯作，他获得了⼀个奖项。
位⾼权重的瑞典国王奥斯卡⼆世将亲⾃颁奖。理论上，利⽤⽜顿运动定律和万有引⼒定律可以解出⼏个天体（恒星、⾏星或是卫星）通过之间的引⼒作⽤是如何运动的。两个相互作⽤天体的运动曲线问题易于描述，⽐如⾏星绕⾏恒星的情况下是椭圆形；但如果天体的数量达到三个的话，情况就会变得复杂。问题在这种情况下⼗分棘⼿，但是庞加莱运⽤了出⾊的⼿法来描述⼀类特定三体问题中的运动特征。
1889年的问题就是，他在这项⼯作中犯了个错误——当然，他纠正了这个错误，叫停了之前⼯作的印刷进程并⾃⼰承担了经济损失，重新修改了参赛内容，拿回了这个奖项。事后，这个错误启发他写下了更多的内容，关于混沌（chaos）。
场景转到1960年的⾥约热内卢，数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）正在海滩上思考⼀个⽆线电波引发的数学问题，问题中的复杂度困扰着他，⽽此前他猜想混沌并不存在。
“我是做了⼀些不好的猜想，”他说，“麻省理⼯学院的莱⽂森（Norman Levinson）说英国两位数学家有些旧论⽂的结果很有意思，与我的猜想相悖。我当时想搞清楚他们的⼯作，所以构建了⼀些⼏何框架来帮助理解。”于是产⽣了著名的斯梅尔⻢蹄铁（Smale's horseshoe map）。它优美地描述了数学中混沌动⼒学的产⽣，并直击庞加莱思考的三体问题的核⼼。
“庞加莱制造了⼀团乱麻，⽽⻢蹄铁引⼊了条理。”
马蹄铁下图左侧的D区域由⽅形S和两端的半圆形组成。想象其沿上下伸⻓，两侧收窄，变得⼜细⼜⻓（中），然后弯曲成⻢蹄铁的形状，放在原来的D区域当中（右侧）。这个过程可以通过数学公式来描述，但⼏何操作就⾜够优美地展示出动⼒学的本质。马蹄铁图形由于马蹄铁（⻩⾊）放在于最初的图形D上，可以观察伸缩弯曲发⽣的过程。
再对马蹄铁进⾏拉伸和弯折获得“四股”马蹄铁（下图红⾊），放在最初的简单马蹄铁上。对图形D进⾏两次“马蹄铁操作”得到双重马蹄铁将D再重复上述操作，也就是将折叠⼀次的四股马蹄铁变成⼋股的；如果不断重复上述操作，可以想象不断获得更多折、更多股的马蹄铁图形，随着操作的重复，马蹄铁的复杂度会变得相当⾼。马蹄铁动⼒学这样的操作是⼀个动⼒系统：当马蹄铁重复拉伸折叠时，D上的点不断运动。
D中的⼀个点通过操作运动⾄马蹄铁上的点，再经过操作运动⾄折叠马蹄铁上的点，以此类推，可以得到⼀个点的⽆穷序列，这个序列被称为D的前向轨道（forward orbit）。点在D的映射点，⼜映射⾄同样也可以进⾏倒推：思考点从何⽽来⽽不是经过到何处。在D中是否存在⼀个点经过后到？假设存在这点，类似的，我们假设存在点可以通过得到、假设存在通过得到……序列被称为的后向轨道（backward orbit）。
D的主体⽅块S是最有趣的。就算在S内，不⼀定也在S内——它可能在S上⽅的U型弯曲中，也可能超出S在下⽅半圆的马蹄铁顶端。但也存在⼀部分点，使得落在S内：也就是说，在马蹄铁竖直的两脚和⽅形S的重合部分。如果和都在S内，那么在⻩⾊的两条竖条中。更进⼀步可以看出，点应落在（下图所示）两个横向的条带和当中。
当作⽤于⽅形S时，这两个横向条带会纵向伸⻓横向缩窄，形成马蹄铁形状后变成了两条纵向的条形区域，⽽剩下的部分要么映射到上⽅的U型弯，要么向下伸出⽅形区域。如果和都在S内部，那么需要在两条横向条带区域（绿）中。如果要求的所有前向轨道和后向轨道都分布在S中呢？可以通过画出弯折次数逐渐增加前后马蹄铁的演变，这个过程可能令⼈头疼⽽有意义，因为最后的结构会很有趣。
但其实有⼀个更简洁的⽅法来描述作⽤后永远不离开S的轨道点集的动态过程。⾸先，⽤集合L表示不会离开S的前向和后向轨道的点集。L中的点都是点的轨道，n可以是正或负整数。点是轨道上的下⼀个点，由于的前向或后向轨道都在S中，和也就都在S中。根据前⾯所说的，就属于两个横向条带区域和当中，对于所有属于前向、后向轨道的n都成⽴。也就是说，轨道中的点在和两区域运动。
动态系统上述内容意味着，对于L内的我们可以⽤⼀个序列描述：如果属于那么记⼀个0，属于记⼀个1；接下来的属于记⼀个0，属于记⼀个1；属于记⼀个0，属于记⼀个1，以此类推。对于前向轨道中的所有点都可以各记⼀个1或0，然后得到⼀个由许多1和0组成的⽆穷序列。对于后向轨道也可以⽤类似的⽅法写出⼀个序列，只是写作的⽅向需要从右向左。
最左边的数字由确定，0代表点在中，1代表点在中；接下来的数字代表，在中为0、在中为1，以此类推。这样可以产⽣⼀个由右端开始的⽆穷序列。中间⽤⼀个点分隔，将两端的序列拼在⼀起，可以得到类似下⾯的序列：这个序列表示点P在后向和前向轨道中始终在区域。可以⽤⼀串1来表示的点p存在这样⼀个事实，双⽆限序列和轨道限于S的点是⼀⼀对应的。
可以证明，L中的每⼀个点，都有⼀个唯⼀对应的双⽆限序列；每⼀个双⽆限序列都有唯⼀⼀个对应的点在L中。如果S中的两个点彼此⾮常靠近，那么他们对应的序列在分隔点两侧也会有很多位是相等的，反之亦然——如果序列很相似，那么对应的位置也会很接近。最重要的是，对S中的某点进⾏操作，意味着将这个序列的分隔点向右移⼀位；⽽进⾏反向操作则是把分隔点左移⼀位。
这样的符号的动态结构（symbolic dynamics）在动态系统理论中应⽤很多，可以清晰地解释动态过程。P点是由⼀串1组成序列的固定点，s点是由⼀串0组成序列的定点关于的动⼒学可以对应双⽆限序列表示的点动⼒学，这说明马蹄铁图形中有两个定点。⽆论何时作⽤，它们都不会改变位置。这两个点p和s就分别对应于以下两个序列：和⽆论如何改变分隔点的位置，序列都不改变。
还有两个点是2次周期性的：这样的点x通过映射⾄y，再经过⼀次映射回x。这样周期性的两点的序列分别是：和这两个序列在分隔点左右移动两位时保持不变，不难看出，其中⼀个经过后与另⼀个相同。类似的还有3次周期点，以及任意周期为n的点。举个例⼦，下⾯给出周期为10位的点的序列：实际上周期性的点⽆处不在。
对于⼀个带分隔点的双⽆穷序列，只需要将中间包含分隔点那⼀段的序列在左右两端重复，就可以构造出尽可能接近它对应点的周期性序列。⽐如对于下⾯这个序列，分隔点的两侧分别只有0和1：考虑这个序列：和上⾯那个序列在分隔点左右三位内的数值⼀致，说明在L中相应的点距离很近。此外，第⼆个序列是周期性的（分隔点每移动六次就会重复），说明这个序列代表的点是6次周期性的点。
不只是六位的周期性序列，构造出的周期性序列所代表的点可以⽆限接近原始点；这意味着，L中任意⼀点都有⼀个⽆限接近它的周期性点。（⽤数学语⾔准确来说，L内的周期性点分布密集。）蝴蝶效应“蝴蝶效应”⼀词来源于⼀个说法，地球上某个地⽅的蝴蝶煽动⼀下翅膀就可以在另⼀地造成飓⻛。它描述复杂系统对初始条件的敏感依赖性。然⽽这些周期性并不意味着马蹄铁映射就是性质良好且好掌控的。远⾮如此！
想象⼀个场景：将铅笔插到L中的⼀点，然后去预测其前向轨道。由于铅笔头不是⽆穷尖的，所以的位置并不能完全确定。是否存在⼀个⾜够完美的近似来预测其前向轨道呢？答案是没有。在铅笔尖所处的这⼩⼩⼀个区域会存在L内所有类型的点。
由于这些点很接近，代表这些点的序列会在很⼤范围内相同，但会从某⼀位开始出现分歧——其中⼀位是0⽽另⼀序列中是1，观察两者的前向轨道，进⾏操作意味着将分隔点右移⼀位，以往所⼀致的区域便会被吞没，留下⼀个0和⼀个1，对应的点分隔在和两个区域。考虑这样的情况，⼀个固定点和另⼀个点两者⾮常接近，但经过七次操作后会得到点和前者在区域⽽后者在。差不多是L中两点能达到的最远距离。
初始时⼩⼩的不同最终滚雪球般增⻓成⼀道鸿沟。这样对初始条件的敏感依赖性还存在于其他的动态系统。我们不能精确预测天⽓或股市的原因之⼀就来源于此：初始条件不能100%精确获得。因此⻓时间的预测就可能出错。这个现象也被熟知为“蝴蝶效应”。在混乱的序列中可以看出，L中任意点的近邻点，在重复操作后会和其他L内近邻的点重合——映射有很强的混合作⽤，这样的性质被称为拓扑混合。
利⽤序列我们可以发现三个性质，周期性轨道的密度、初始条件的敏感性以及周期性混合，被认为是数学混沌的重要标志。这些性质意味着，随着不断重复，事情的发展会超出预测，开始时平平⽆奇的马蹄铁，也可以变成混沌的绝妙⽐喻。