学好数学居然还能当上国王？数学教你如何改变世界
Dave Roos
中科院物理所
2023-11-21 12:45:01
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分数，微积分，虚数。如果你和许多⼈⼀样有数学恐惧症，这些词也许会引发你对⾼中数学课的痛苦回忆，那些⿊板上的“涂鸦”既令⼈困惑，⼜⽆聊得让⼈头疼。我们会忍不住抱怨“为什么会有⼈关⼼数学呢？这有什么意义？”灯泡的发明者爱迪⽣（左）和数学家、电⽓⼯程师查尔斯·普罗泰斯·斯坦梅茨携⼿合作。斯坦梅茨利⽤虚数计算出了如何构建可正常⼯作的电路，从⽽让电⼒进⼊千家万户。
英国记者迈克尔-布鲁克斯（Michael Brooks）拥有量⼦物理学博⼠学位，并在《新科学家》杂志担任编辑，他明⽩为什么我们这么多⼈讨厌数学。在学校⾥，数学可能枯燥乏味令⼈⽣厌，⽽⼀旦数学变得有趣，就会呈现出⼀种近乎神秘、不可知的⼒量，这种神秘感让⼈着迷。
他的新书《美妙的数学》（The Art of More: How Mathematics Created Civilization）提出了⼀个令⼈信服的论点：⼈类⼀些伟⼤的成就只能由数学创造。数学不仅不枯燥，⽽且也⼀点都不神秘，它与我们每个⼈都息息相关。它是⼀种解决问题的实⽤⽅法，从古代苏美尔到硅⾕，它让我们的世界变得更加美好。
这⾥有四个有趣的故事，说明⼀些简单（或不那么简单）的数学是如何改变我们的世界的。
加法之⼤帝舒尔基
⼤约4000年前，乌尔古城是美索不达⽶亚南部苏美尔的重要⾸都之⼀。农业⾰命使定居点的规模达到了前所未有的程度，但正因如此祭司和国王越来越难以掌管粮⻝的收成、储存和分配，以供奉神灵和养育⼈类。
⾃然数学就成了他们迫切需要的东⻄。起初并没有什么花哨的计算技巧，只是⼀些基本的算术（加法、减法、乘法、除法）。但是令⼈惊讶的⼀点是根据从乌尔（Ur）出⼟的古代泥板，最早的算术冠军之⼀竟然是⼀位名叫舒尔基（Shulgi）的国王
布鲁克斯说：“有记录显示，⼈们撰写赞美诗来歌颂他的加法运算能⼒。⽽他也让⾂⺠崇拜于他的数学能⼒。”
舒尔基不仅炫耀了他神⼀般的数学技能，他建⽴的国家还被学者们公认为
“第⼀个数学国家”。在他的国度中，数学主要⽤于记账，这使得舒尔基和他的幕僚们能够严格控制乌尔的财政，从⽽防⽌⼈⺠欺骗国家。
你可以说舒尔基和他的幕僚不过是美化了的审计员，但正如布鲁克斯在《美妙的数学》中写道，审计是“⽂明的真正摇篮”。
2021年，⼈们在伊拉克南部济加尔省乌尔古城的⻬格拉特神塔参加庆祝活动。舒尔基国王被认为是这座神庙的建造者。
“舒尔基认识到，⼀旦你掌握了数字，就会开始获得丰厚的经济利润，”布鲁克斯说。“数学这东⻄很管⽤”。
通过运⽤数学，舒尔基帮助乌尔获得了巨⼤的财富，并利⽤这些财富发展了世界上最早和最伟⼤的⽂明之⼀。舒尔基的功劳也在于建造了⻬格拉特神塔，建⽴了庞⼤的道路⽹络，并将他的贸易帝国扩展到阿拉伯和印度河流域。
法国⼤⾰命始于⼀名会计师
18世纪的法国君主路易⼗六为美国独⽴⾰命提供了资⾦⽀持，但美国⼤⾰命却让法国陷⼊了债务泥潭。国王需要⼀位优秀的会计师来帮助平衡账⽬，于是他任命⼀位名叫雅克·内克尔（Jacques Necker）的⽇内瓦银⾏家为财政⼤⾂。
但内克尔在⼯作中有点“太出⾊”了。他将预算公开并使⽤复式账法来仔细追踪每⼀笔开⽀，这对于⼀个极端君主专制的国家来说并不常⻅。内克尔相信，维持账⽬的平衡不仅代表着审计⼯作做的好，也是⼀个有道德、繁荣、幸福和强⼤的政府的基础。
但是挥霍⽆度的法国王室并不喜欢这样，因为这意味着他们不能随意花钱，所以内克尔被解雇了。
国王的亲信们可能鄙视内克尔，但⾰命者却爱戴他。事实上，内克尔的下台正是引发法国⼤⾰命的导⽕索。
“当⾰命家在攻打巴⼠底狱时，他们肩上扛着雅克-内克尔的半身像，”布鲁克斯说，“他是个很酷的会计师。”
开普勒发明积分学竟然是为了节省酒钱
德国天⽂学家约翰内斯-开普勒（Johannes Kepler）因为发现⾏星运动定律⽽闻名于世，该定律证明了太阳系中的⾏星以椭圆形轨迹围绕太阳运⾏。除了这项著名⼯作，他还写了⼀整本关于葡萄酒桶正确形状的书。
据说开普勒为他在奥地利林茨市举⾏的第⼆次婚礼订购了⼀桶葡萄酒，但在⽀付酒款时双⽅发⽣了争执。开普勒不喜欢酒商给这桶酒定价的⽅法。
根据习俗，酒商将酒桶侧放，然后将⼀根⻓棒从酒桶中⼼的孔中插⼊，直到戳到对⻆为⽌。取出⻓杆后，这⼀桶葡萄酒的价格就由⻓杆被浸湿的程度决定。
开普勒很快就发现了这种⽅法的不⾜之处：同样数量葡萄酒，价格会随着酒桶的尺⼨⽽变化。⼜细⼜⻓的⽊桶⽐⼜矮⼜胖的⽊桶价格要低。开普勒⽓⿎⿎地付了账，但他不能放弃如何建造⼀个能酿出最物美价廉的葡萄酒的⽊桶这个问题。
开普勒的⽅法是把⼀个弯曲的酒桶想象成⼀群扁平的圆柱体的集合来计算它的体积。不过，要得到最精确的结果，计算中需要使⽤⼤量圆柱体。事实上，它们需要变得⽆限⼩，才能填满酒桶内的每⼀⼨空间。
“布鲁克斯在书中写道：“当我们把时间、距离或其他任何东⻄切成⽆限⼩的时候，我们就进⼊了微积分的领域”。
1615年，开普勒发表了《酒桶新⽴体⼏何》（Nova Stereometria Dolorium Vinariorum），这⼀⽂章被认为是积分学的奠基之作。（⽜顿：那我呢？）
这幅插图选⾃德国天⽂学家约翰内斯-开普勒的《酒桶新⽴体⼏何》。开普勒的著作是现代积分学的基础。
开普勒展示了如何使酒桶的尺⼨最⼤化，从⽽使其价格最⼩化（顺便说⼀句，奥地利的酒桶制作⼗分精准），为使⽤微积分在为利⽤微积分最⼤限度地提升各种事物的效率指明了⽅向。布鲁克斯⽤现代的例⼦来说明：计算抗癌药物的正确剂量，以产⽣最有效的反应；计算747⻜机应该携带多少燃料，才能在不下坠的情况下⻜⾏得最远。
虚数使美国电⽓化
对于数学恐惧症患者来说，没有什么⽐虚数更让⼈头疼的了。当我们使⽤实数时，数学已经够难了！现在还要⽤虚数来捣乱？
冷静点兄弟。事实证明，虚数是真实存在的，只是它们有⼀个⾮常愚蠢的名字。
斯坦梅茨博⼠（左⼀⼿持凳⼦）在实验室演示⼈⼯闪电发⽣器。
这个问题起源于数学家试图求解需要负数平⽅根的⼆次⽅程。由于任何数乘以它本身都不可能等于负数（甚⾄负数乘以负数也等于正数），数学家们开始把这样的数称为“虚数”。
如果不是因为⼀位叫查尔斯·普罗泰斯·斯坦梅茨（Charles Proteus Steinmetz）的1.45⽶的奇⼈，虚数可能仍然是⼀种奇特的数学怪数。
斯坦梅茨发现了如何利⽤虚数来解决19世纪90年代最具挑战性的⼯程问题之⼀：如何利⽤电⼒这种新动⼒并将其输送到家庭和企业。当托⻢斯-爱迪⽣（Thomas Edison）和尼古拉-特斯拉（Nikola Tesla）等⼤⼈物为交流电和直流电谁更有优势⽽争论不休时，⼯程师们却在为构建正常的电路所需的极其复杂的数学知识⽽苦苦挣扎。
“查尔斯-斯坦梅茨想出了⼀个公式，把所有这些⾮常困难的计算，变成使⽤虚数的⾮常简单的计算，”布鲁克斯说。“这基本上就是我们如何使美国电⽓化的⽅式”。
斯坦梅茨的公式为电⽓时代以及⼯业化和科学发现的巨⼤⻜跃提供了动⼒。半个世纪后，⽐尔-休利特（Bill Hewlett）和戴维-帕卡德（David Packard）在被称为“硅⾕发源地”的加利福尼亚州帕洛阿托（Palo Alto）的⻋库⾥，利⽤虚数设计出了他们的第⼀件产品——⾳频振荡器。
作者：Dave Roos
翻译：九⼀
审校：Sheri
原⽂链接：Thanks, Math! Four Times Numbers Changed the World
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