假如我们生活在一个立方体形状的地球上，你该怎么找到环球旅行的最短路径呢？你有没有想过，如果地球的形状不是球形，生活会是什么样子？球形的地球也让我们很容易找到从A点到B点的最短路径: 沿着经过这两点并把球体切成两半的圆弧移动。我们使用这些称为测地线的最短路径来设计飞机路线和卫星轨道。但如果我们住在一个立方体上呢？我们的世界将更加摇摆不定，我们的视野将变得弯曲，最短路径也将更难找到。
你可能不会花很多时间想象立方体上的生活，但数学家们会: 他们研究在各种形状的星球上的旅行是什么样子的。在一个立方体的世界里，测地线就不那么明显了。在单独一个面上很容易能找到一条径直路径，因为每个面都是平的。但如果你在一个立方体的世界里行走，当你到达边缘时，你如何继续“直”走呢? 立方体上的蚂蚁有一个有趣的古老数学问题回答了我们的疑问。假如在立方体的一个角落有只蚂蚁，而它想要到达另一个角落。
那么立方体表面上从A到B的最短路径是什么？有一种巧妙的方法可以解决这个问题。我们把立方体压平! 如果立方体是纸做的，你可以沿着边缘剪开，然后把它压平，得到一个像这样的“格网”。在这个平坦的世界里，从A到B的最短路径很容易找到: 只需要在它们之间画一条直线。为了看看我们的立方体世界的测地线是什么样的，只要把立方体重新拼在一起。这就是我们的最短路径。
将立方体展平是可行的，因为立方体的每个面本身都是平的，所以当我们沿着边展开时，没有什么会被扭曲。现在，我们已经对立方体上的径直路径有了一定的了解，让我们重新考虑一下我们是否可以沿着任何一条径直路径行走，并且最终回到起点。显然，与在球体上行走不同，在立方体上并不是每条径直路径都能够往返走个来回。往返的路径是存在的——但是有一个条件。
注意，蚂蚁可以沿着我们上面绘制的路径继续前进，并最终回到它开始的地方。在一个立方体上，绕一圈后产生的路径看起来更像一个菱形。沿着这条往返路径，蚂蚁必须经过另一个顶点(点B)，之后才能回到起点。这就是问题所在: 每条从同一个顶点开始和结束的径直路径都必须经过立方体的另一个顶点。上面的结论对于5个正多面体（Platonic solids，也称柏拉图多面体）中的4个是成立的。
在立方体、正四面体、正八面体和正二十面体上，任何从同一个顶点开始和结束的径直路线都必须经过另一个顶点。数学家们五年前就证明了这一点，但正十二面体并没有位列其中。我们稍后再讲这个。