前几天为了做实验拆了表弟的游戏机，表弟很不开心。为了挽回兄弟情谊，我特地为他制作了一台游戏机！表弟一定会原谅我吧~
实验器材包括所标杯、硬纸板、砂纸、胶带、剪刀、笔。实验过程先用剪刀剪出需要的小块，将小方块的边缘打磨光滑，方便后面小方块的移动。在小方块上标上数字，在底板上粘贴上边框，并用笔美化一下界面，最后把数字方块置入，就得到实体触屏式体验。
这里小编出一个谜题，大家能不能将下图恢复原来的数字顺序呢？这个经典游戏的名字叫“15puzzle”，属于单机解谜类。与之类似的游戏有华容道，推箱子，魔方等。
那么我们能不能只通过正经地操作得到问题中所指定的情形呢？答案是不行。我们可以运用小学三年级的数学知识进行解释。首先，假设空格处有一个虚拟的数字块，它的数字标记为16。然后，我们将二维排列的数字块，按行展开，降维打击成一维，就得到了一个1到16的数字排列。
接下来，我们看看移动数字块会发生什么。如下图所示，数字块移动时，必然要伴随空格16的移动。所以，每一次操作都可以看作是数字块16与相邻的某一个数字块交换位置。在数字排列中就是交换两个数字的位置。
现在，引入一个概念：逆序数。逆序数的意思是，一个数列中，如果有两个数，序号在前面的数比在后面的数大，那么这两个数就构成一个逆序对，逆序对的数目称为逆序数。举个例子，比如，1、2、3的逆序数为0，是个偶数。
交换2和3，得到1、3、2，它的逆序数为1，是个奇数。再交换1和3，得到3、1、2。它的逆序数为2，是个偶数。通过仔细地康康，可以总结出这样一个规律：数字排列每进行一次数字的位置交换，就会使排列的逆序数奇偶性发生一次改变。
有了这些前期准备，现在使用反证法进行分析。假设我们可以通过平移数字块，使数字的分布情况从下图左边变到下图右边。
注意到，上图右边的空格16此时回到了原来的位置，这表明，它向左、向上平移了多少步，就要向右、向下平移多少步。也就是说，整个过程需要进行偶数步操作。因此，逆序数的奇偶性前后不变，即，上图右边的逆序数的奇偶性应该与上图左边的相同，都为偶数。但是，上图右边展开后只有(15,14)一个逆序对，所以它的逆序数是奇数。这样就出现了矛盾，所以假设不成立，因此无法从通过常规操作从左图变到右图。
这个游戏的理论背景是群论中所讲的置换，逆序数的奇偶性对应了奇置换与偶置换。理论的分析只能告诉我们能不能做到，但没有告诉我们怎么做。我们可以像玩魔方一样，先打乱它，然后通过分析与试验总结出复原的套路。一个复原过程[2]熟人太多，不方便透露复原的套路。匿了匿了。侵删以上参考资料[1] 物理学中的群论[2] 复原过程