在密铺的瓷砖背后，隐藏着令人毛骨悚然的幻影。如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案，你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。一个简单的例子是由等边三角形的顶点构成的曲边三角形。通常，圆弧的形状主要由两条信息定义：圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形，比如图二中的三种图形。
新绘制的图形被称为原始图形的“幻影”，它是由原始图形顶点绘制的圆弧构成的，它与原始图形形状一致，但存在旋转或者镜像的关系。
当数学家们遇到二维图形时，他们经常会问自己一个问题：类似于正方形瓷砖可以铺满整个广场，如果给你这个形状的瓷砖，你能用它来平铺整个平面吗？对于目前提到的这四种形状而言，答案是“不”，这几种形状都不能单独平铺一个完整的平面。接下来，让我们看看第五种形状，或者说一类形状。
三曲线镜片是一种最简单的几何形状，它由两条相同的弧线拼接而成。任意的三曲线都能周期性地平铺：将三曲线图形沿着某个方向平铺，就会得到如图四的形状。如果构成三曲线的弧度的角度是360°的因数，而且弧线满足特殊的比例（比如1:2:3），那么三曲线就会具有径向和非周期性质的平铺属性，这个性质非常有趣，你可以自制这个拼图进行尝试。每个三曲线都可以升序的三个弧角来形容，其中两个凹弧的和为大的凸弧的值。
迄今为止制作的拼图多是用30°-60°-90°或36°-72°-108°弧度制成，当然还可以用其他角度或者比例的图。
三曲线的幻影是什么样子的？每个三曲线都存在对应的幻影，将三曲线按照一个固定的旋转中心旋转180°得到其幻影，根据三曲线的不同，幻影可能会跟原形状分离，也可能会重叠。为了确定或者可视化三曲线的幻影，只需要三曲线旋转半圈，再将连接两个凹面的那个顶点定位在原始大圆弧的中心。用幻影进行平铺，当利用三曲线平铺平面时，观察平铺三曲线的幻影，会发现幻影也在进行平铺。
用三曲线填充特定的形状会发生什么？
假如有任意一个镜片形状的物体，用三曲线来对其进行填充可以得到两个较小的镜片。每个小镜片可以被两个更小的镜片和一个三曲线填充。以此类推，任何镜片都可以用一系列越来越小的镜片填充。这种情况也适用于圆，因为圆同样是一种镜片。填充圆的方法有许多，而这里介绍一种普通的方法。首先用最大的三曲线来进行填充，然后向下寻找次一级最大的圆弧进行填充，以此类推，将“剩余镜片”留在下半部分的周边。
然后，这些剩余镜片被逐渐变小的三曲线填充，直至变为无限的序列。
我们可以反过来做，虽然会有点困难：我们可以从对称的方圆开始，用无穷的三曲线填充它，然后制作这些三曲线的幻影，最后回到填充圆。无论圆是如何用三曲线填充的，这都是正确的。因为对称的方圆是填充圆中所有幻影三曲线的并集，所以我们称对称的方圆是圆的超级幻影。反之亦然，因为它是可逆的。因此，一个形状的超级幻影是该形状的填充三曲线的幻影结合的轮廓。
减去超级幻影，最后，我们注意到镜片和超级幻影可以从更大的镜片和超级幻影中减去。在下面的图中，在原始镜片（左）中移除了两个较小的镜片（中），从而得到了一个三曲线（右），而超级幻影在这个过程中相应地发生了改变。你可能会注意到，在上面的两幅图中，两个较小的镜片从较大的镜片上取下，剩下的形成了一个三曲线。由此产生的超级幻影也是该三曲线的幻影。事实证明，对于任何三曲线，超级幻影都和幻影一样！