在上一篇文章中，我们介绍了魔术师可以用洗牌来做什么。但是，数学家在洗牌的时候会怎么做呢？为此我们咨询了来自西澳大利亚大学的教授谢丽尔·普拉格（Cheryl Praeger），普拉格主要从事群论的相关研究——这是一个和对称性相关的数学领域。普拉格2020年在艾萨克·牛顿研究所进行过一次相关话题的有趣讨论。在她回到澳大利亚之后，我们和她有过交流，她向我们分享了一些关于群论和洗牌的关系的迷人见解。
数学家利用完美洗牌可以做什么？我们首先来数一下通过洗牌操作可以产生多少种可能的置换。我们从一副k张牌组成的牌组开始，可以知道在洗牌操作之后，第一张牌所处的位置有k种不同的选择。而留给第二张牌的空位只剩下了k-1个，留给第三张牌的空位只剩下了k-2个，以此类推。那么所有可能的重排的总数是k x (k-1) x (k-2) x ... x 2 x 1，或者叫做k的阶乘，记作k!。
k张牌组成的牌组的所有可能的置换构成了一个对称群，这个群中的元素个数是k!。
举个例子，对于6张牌构成的牌组，对称群中有720（6! = 6x5x4x3x2x1 = 720）种可能的置换。而普拉格感兴趣的则是通过完美洗牌（牌组被分成两等份，洗牌之后牌被一张一张交叠在一起）能够获得的置换。
完美洗牌有两种方式：外洗法（第一张牌和最后一张牌位置固定）和内洗法（第一张牌和最后一张牌在洗牌之后都移动了一位），具体操作这篇文章有提到。我们考虑这两种完美洗牌的方式的任意组合——你可以只做一次内洗操作，或者做三次内洗操作加一次外洗操作，再或者连续做八次外洗操作都可以。
这样你通过所有的内洗操作和外洗操作的组合得到的卡牌的置换就构成了一个群，我们叫它“洗牌群”（shuffle group）。它并不包含牌组所有可能的置换。举个例子，6张牌构成的牌组，它的对称群里有720种可能的置换，而洗牌群里就只有24种。但是这两个群都有一个重要的数学特性。
洗牌群和对称群都有所谓的群结构。从数学上讲，群是以满足四个规则的、以特定方式组合的对象的集合。例如，在我们的洗牌群中，对象是由两种类型的完美洗牌方式组合生成的洗牌。洗牌群是封闭的：如果您将群中的任意两个洗牌组合在一起，得到的洗牌也将是完美洗牌的组合，一般的洗牌群也是如此。每个洗牌都有逆元：一种洗牌再配上它的倒序洗牌，相当于没有进行洗牌操作。
对于群论学家来说，一个关键的操作是如何将一个有限的群分解成它的基本组成部分——我们称之为单群。“通常你可以把一个群分成两部分，这样每个部分都又构成一个群，你可以继续这样做下去。”普拉格说，“它就像一棵树的分枝，分枝后面还有分枝，直到得到一个不可能再分裂它的阶段，这就像到了树的叶子。当你找到树上的叶子时，我们称之为单群，因为到了这一步它们就不能被进一步划分了。”
一个早期的关于洗牌群的有趣结论在20世纪80年代被数学家佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis）、罗纳德·葛立恒（Ronald Graham）和威廉·康特（William Kantor）所证明。“他们发现并解释了一个非常优美的性质就是所谓的中心对称性。”普拉格说，“你可以把这副牌中的最顶上和最底下两张牌看作是是相互关联的。
在任何一系列完美的洗牌操作之后——假设最上面的牌移到了第三的位置，那么最后一张牌就会升到倒数第三的位置——这是一种对称性，无论对两张牌中的一张做了什么，另一张都会模仿它。”
事实证明，类似的幂律特例也适用于“多手（many handed）完美洗牌”，这是普拉格与她的同事卡门·阿马拉（Carmen Amarra）和卢克·摩根（Luke Morgan）在2019年探索过的。当他们访问她的研究小组时，普拉格想起了一张藏在抽屉底部的、写满了旧数据的纸。“它在我的抽屉里放了几十年了！”现在正是研究一下的最佳时机。
另外由于他们的新方法，普拉格、卡门和卢克能够发现一些有趣的新结果。他们的新方法考虑到了在洗牌时牌堆的置换。特别是，他们发现“洗牌群”保留了你允许的堆置换的许多性质。如果我们在允许的洗牌方式下定义一种牌堆的传递性的置换群，那么你得到的“洗牌群”也将是可传递的。
洗牌的数学是表现数学家如何工作的一个很好的例子。
在这一情形下，他们从标准的纸牌游戏中进行一次完美洗牌开始，将牌分成两堆——我们已经知道有两种类型的完美洗牌，即“内洗法”和“外洗法”。然后，在研究了这一设定的数学理论之后，他们又对设定和结论进行了外推：将牌堆分成三个、四个，甚至是任何数量相等的堆。他们从一张简单的纸牌开始，起初可能只是是在桌上和朋友一起玩，但是，和往常一样，他们不可避免地开始以数学的眼光看问题。