提起平行线，大家都不陌生——两段平行延伸的铁轨、黑白相间的斑马线，这都是生活中可以观察到的平行线，在文学作品中我们也会看到这样的描述：“两个人就像平行线一样，永远没有交集”。在我们的印象中，平行线具有永不相交的性质。但有人说：“平行线在无穷远点交于一点”。那平行线之间到底有没有交点？它们到底会不会在无穷远点相遇呢？
要弄明白这个问题，我们需要先了解平行线永不相交这个说法是怎么来的。
平⾏线诞⽣于平⾯⼏何第五公理。古希腊数学家，几何学之父欧几里得在研究几何学的时候，发现了有些几何学知识属于经由人类长期反复的实践表明正确，不需要由别的知识推出。于是欧几里得在《几何原本》中给出了五大公理，并以此为基础构建了几何学体系。在五大公理中，前四个看着都比较简洁明了，第五公理则相对啰嗦。
后来的研究推导表明，第五公理与以下两个说法等价——一是，三角形的内角和为180度；二是，过直线外一点，有且仅有一条直线不与该直线相交。而第二个说法中两条永远不相交的直线则被称作平行线。
从平面几何第五公理提出以来，数学家们就开始思考一个问题：这一公理能否被别的公理替代？19世纪，高斯、巴切夫斯基、波尔约等人各自独立尝试了使用不同的平行公理。最终根据过直线外一点能做几条直线与已知直线平行，形成了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何两大新的几何体系。因为这两大体系与欧几里得几何学不同，所以又被统称为“非欧几何”。
平面几何在我们的实际生活中有着非常大的应用价值。小到机械制造，大到地理信息测量，都离不开平面几何的计算。这也是为什么我们从小学到的都是平面几何。那非欧几何就是数学家们拍脑袋拍出来的吗？非欧几何有没有应用价值呢？答案是肯定的。非欧几何在特定的空间、特定的问题中具有很高的应用价值。
最后，回到我们最开始的问题，平行线本身的数学定义就是没有交点的，平行线也不会在无穷远点相遇。只是在黎曼几何中，两条看上去“平行”的直线会在无穷远点相遇，但它们实质上不属于平行线。