丘成桐（菲尔兹奖⾸位华⼈得主、中国科学院外籍院⼠）编者按：为什么学数学的⼈也要学物理？为什么上课要记笔记？动笔做题很重要吗？近⽇，北京胡杨⽂化策划出品的《真与美：丘成桐的数学观》在江苏凤凰⽂艺出版社出版。本书结集了丘成桐先⽣近半个世纪以来探讨数学和⼈⽂教育的系列⽂章。经出版⽅授权，特摘编丘成桐关于学数学如何培养基本功夫的相关内容，以飨读者。
培养好基本功夫做研究的道路是很漫⻓的，我们需要在研究低潮的时候还能够坚持做下去。很多做研究的⼈，觉得⾃⼰若不在世界科研中⼼，便做不出重要的研究。可是有些⼈在科研最负盛名的地⽅做研究，也不敢去碰困难的题⽬。这种现象有很多不同的原因，等⼀下我们再慢慢谈，可是我想最要紧的是基本功夫没做好。
在我们上中学、⼤学或者在研究院做研究⽣的时候，基本功夫都要赶快培养好，很多学⽣在年轻的时候没有将基本功夫做扎实，以后做研究时就很吃⼒。另⼀⽅⾯，现在⼤家都喜欢谈应⽤数学，其实⼤部分应⽤数学的主要⼯具和想法都是从基础数学来的。但是很多学⽣认为，他们既然是学应⽤数学就不⽤学基础数学，或者是学应⽤物理就不必学理论物理了，这是很⼤的错误。其实没有基础数学和理论物理的⽀持，应⽤科学不可能有重要的突破。
基本功夫⼀定要在做学⽣的时候学好。为什么呢？因为在这段时间，我们会愿意去做习题，并且会⼤量地练习，这是学习基本功夫的必要过程。我相信很多本科毕业或是拿了博⼠学位的学⽣，做研究时不会再去做习题，遇到⼀些⽐较复杂的计算时，也不愿意仔细地去计算，殊不知很多基本的想法就是从复杂的计算⾥⾯领悟出来的。⼀项研究，最终只看到很简单、漂亮的结果，但是中间可能经过⼤量的计算。
好的研究不是⼀朝⼀夕得来的，往往做了100次的计算，99次都是错的，最后⼀次才是成功的。但作者只会宣布成功的结果，不会告诉你他前99次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的，很多错误要在做完题⽬的时候才发现。有些错误其实是很明显的，可是当作者描述⾃⼰的结果给别⼈听的时候，不会讨论错误的那部分，⼀⽅⾯作者可能不知道⾃⼰的错误在什么地⽅，另⼀⽅⾯发⽣错误的地⽅可能很模糊，讲不清楚。
其实了解到⾃⼰如何犯错后，我们的眼睛会更加明亮，犯错的经验反⽽会帮助我们了解问题，让我们找到新的⽅向向前⾛。其实能够得到错的结果，已经是很不错了，因为很多初学者连怎么着⼿做题⽬都不知道。譬如说，你给我⼀个化学题⽬，该从什么地⽅⼊⼿我都没有头绪，因为我没有掌握任何化学的基本功夫。
要掌握两门以上学科⼀个好的数学家⾄少要掌握两⻔以上很基本的功夫。数学有很多分⽀，如代数、分析、⼏何等种种不同的⽅法，我们在中学的时候就开始学。有些⼈喜欢⼏何，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学代数的⼈不想学⼏何，各种想法都有。可是最后我们发现，真正做数学研究的时候，全部⽅法都需要⽤到。
有些⼈做了数学中某个特殊⽅向的题⽬后，就⽤全部精⼒继续做这⽅⾯的⼯作，不去做其他题⽬了。
少数学者能够精益求精地做出深⼊的⼯作，但是⼤部分⼈却只能在同⼀个⽅向做⼀些琐碎的⼯作，连原来那⽅⾯的问题也不⻅得做得好。数学不停地发展，不断地改变，⾃然界提供给我们的问题，不会因为你是⼏何学家，就持续不断地提供⼏何⽅⾯的问题，⽽往往是与⼏何结合在⼀起的。这些题⽬需要⽤到其他⼯具，如果事先没有掌握这些⼯具，那就⽐其他⼈吃亏了。
例如，数学中有⼀⻔很重要的学科，叫“群表示理论”。
很多⾼校不教这⻔课，可是它在许多应⽤科学与理论科学中都要⽤到。很多著名数学家和物理学家都能够熟练地运⽤“群表示理论”来分析问题。假如我们没有学过这些办法，就吃亏了，这是基本功夫没有做好的缘故。在中国，“群表示理论”⼤概是进了研究院或者⼤学后半期时，才开始学习的。中国数学家在这⽅⾯的训练不够，因此在应⽤群表示论时不如国外学者。由此可⻅基本学科⼀定要学好，同时要很早就学。
学数学也要学物理我们学数学的⼈不单要学数学上的基本功夫，也要学物理上的基本功夫，同时在⼤学时就要学。⼒学、电磁学和量⼦⼒学，我们都要有⼀定的了解，近⼏⼗年物理跟数学越⾛越近，很多数学问题是物理学提供的。假如对这些基本的观念完全不了解，我们看题⽬就⽐不上懂得这⽅⾯的学者，他们能够很快地融会贯通。
理论物理、应⽤数学或其他的科学引发出很多数学问题，它们甚⾄提供了这些问题的直观看法和解决⽅法。数学中有很
多悬⽽未决的问题，往往因为其他科学带来的想法⽽得到解决。假使我们从来都不接触其他科学，就完全落伍了。举个例⼦，代数⼏何学近70年来有了⻓⾜的发展。可是到了近30年，⼀些古典⽅法⽆法解决的问题，理论物理却帮助我们看到了以前看不到的地⽅。由于本身知识的局限，很多代数⼏何学家遇到这些困难的时候，没有办法接受这些专家的看法。可是物理学家却确实指明了解决⼀些代数⼏何问题的⽅向，代数⼏何学家⼜觉得很难为情。
因为他们不懂物理学，没有办法去了解物理学家的想法，这是⼀个令⼈困扰的现象。
假使我们年轻时不肯学物理学上的基本功夫，就没有能⼒接受这些新的挑战。记得我看过⼀本Joseph Wolf写的书，在序⾔⾥，作者感谢芝加哥⼤学代数学教授Adrian Albert，为什么感激他呢？作者说：“Albert教我代数，使得我坐下来的时候，看到代数的问题不会恐慌，使我能够有信⼼地去解决这些代数上的问题。
”我们的基本功夫能不能做到如此，就是当看到数学的问题时，能够坐下来有信⼼地去想办法对付它，我想这是做学问很重要的过程。我们往往看到数学问题时，恐慌得不晓得怎么办，因此就放弃了，我想⼤家都有这个经验。
做基本功夫⼀定要做到看⼀个题⽬时，即使是历史上未解决过的问题，你还是可以坐下来，花⼯夫想办法去解决它。即使你不能够解决它，你⾄少要有⼀定的想法去对付这个问题，不会恐慌或放弃它，我想这种训练是最重要的。
往往我们因为基本功夫没做好，当⼀个深奥的题⽬出现的时候，我们拒绝去接受它，认为这些题⽬不重要，这是能⼒有缺陷的学者解释⾃⼰为什么不能去做某些问题时最常⻅的想法。结果是：“重要的问题来了，却眼睁睁地看着别⼈解决它，⾃⼰却⽆能为⼒！”著名物理学家泡利（Wolfgang Pauli）就曾经说过这样的话。
爱因斯坦是个伟⼤的物理学家，但是他不懂得⼏何的想法，他找同学格罗斯曼（Marcel Grossmann）帮忙，才知道黎曼的重要⼯作，否则⼴义相对论发展不出来。基本功夫要从中学开始训练基本功夫要在中学⽣、⼤学⽣或研究⽣的时候。怎样学好基本功夫呢？有时看完⼀本书后，就将书放在⼀边，看了两三本书后就以为懂了。
其实单看书是不够的，重要的是做习题，因为只有在做习题的时候，你才能知道什么命题你不
懂，也理解到前⼈遇到的困难在哪⾥。习题不单在课本⾥找，在上课和听讲座时也可以找得到。很多学⽣上课的时候不愿意做笔记，三⼗年前不做笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候讲者讲的题⽬根本不在书本⾥，⼜或者是还没有发表的。现在有了电脑⽅便多了，但是笔记还是重要的。通过⼿写的经验⽐看电脑来得扎实。我常觉得很奇怪，为什么学⽣不做笔记？他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的⼈⾃⼰都还没搞懂。
听讲的⼈不愿意去做笔记，也不愿去跟演讲的⼈谈，或去跟其他⽼师讨论，这是很可惜的事情。
基本功夫的另⼀个训练就是要找出⾃⼰最不⾏的地⽅在哪⾥。我们在学习“群表示理论”的时候，会遇到⼀⼤套抽象的理论。单看抽象的理论是不够的，在应⽤时往往要知道群表示是怎么分解的，如果不能够将它写下来，漂亮⽽抽象的理论对你⼀点好处都没有。⼜例如，在研究微分⽅程时，往往会遇到⽅程式的估值问题。你有没有真正了解其中的⽅法，就全靠你的实际计算经验，不是光念⼀两本书就⾜够的。
记得我的⼉⼦在中学时学多项式的因式分解，⽼师教了他⼀⼤堆怎么分解整数⽅程的⽅法。他学得很好，也学了怎么找根的⽅法。可是有⼀次考试时他就是不知道怎么做因式分解。我跟他说：你明明晓得怎么找根，为什么不能够做因式分解？主要是他学的时候没想到找根与因式分解是同⼀件事情。问题就在于训练基本功夫的时候，要想清楚数学命题间的关系，以及为什么要解这些命题。
动笔做题很重要我们去看⼀些⼈写的前⼈的学术历史，会读到很多很漂亮的介绍和批评。可是如果你⾃⼰没有经历过这⼀条路的话，事实上很难了解困难在什么地⽅，为什么⼈家会这样想。要得到这个经验，不单要做习题，还要做⽐较困难的习题。做难题有什么好处呢？难题往往是⼏个⽐较基本的问题的组合。
我看书的时候，常常会⼀本书⼀下⼦就看完了，觉得很⾼兴，因为看完了。可是重新再看，还是觉得什么都不懂。
我想⼤家都有这个经验，主要的原因是什么呢？我们没有学好这学科，做⽐较难的题⽬时，就会束⼿⽆策。我们做⼀些题⽬的时候，往往觉得似是⽽⾮。在脑⼦⾥⾯想，以为已经懂了，可以解决了，就⼀厢情愿地想这个问题已经解决了，于是很快地看完那⼀本书。事实上这是欺骗⾃⼰，也不是训练基本功夫的⽅法。⼀个好的题⽬，你应当坐下来，⽤笔写下来，⼀步⼀步地想，结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。
当你弄清楚的时候，你去看你以前需要的定理在哪⾥，怎么证的，我想你就会慢慢了解整个学问的精义在哪⾥。
所以说，动笔去做题⽬是很重要的。我们做⼤学⽣时还愿意做题，往往做研究⽣时，就不会动⼿去做了，毕业以后更不⽤讲。⼀个题⽬在书本⾥，我们以为⾃⼰懂了，有些是很明显的，但有些是似是⽽⾮的，好像差不多了，事实上不是，⾥⾯蕴含很多巧妙的东⻄。我们⼀定要动⼿去做，才知道这些巧妙的内容在什么地⽅。
我们把基本功夫搞得很扎实以后，就会发现书⾥⾯很多是错的。能够发现书本⾥的错误时，你的基本功夫就不错了。现在的⼀些学⽣不看课外书，连本学科的教科书也不看，很令⼈失望。
做研究时，⾃⼰要去找⾃⼰的思路。单单上课听听，听完以后不看书，做⼏个习题就算了，怎么做都做不好。因为你没有想⾃⼰的思路要怎样⾛。我⼤⼀念到⼀半时，刚开始了解到数学严格化的过程，觉得很兴奋。从逻辑去看，所有数学命题都可以⼀点⼀点地推导，从前有些⼏何或分析上的问题，我发觉都可以将它们⽤逻辑的⽅法连接起来，所以很⾼兴。
我讲这段经历是什么原因呢？
我觉得现在很多⼤学⽣或研究⽣对于宏观的数学看法并不热情，只是看到课本上有些题⽬，能够做完它，就觉得很满⾜，⽽没有去想整体数学，整体⼏何，或者整体代数的内容。我们需要研究的是什么事情？我们需要追求的是什么对象？考虑这些事情其实并不会花你太多时间，可是你要有⼀个整体性的想法。整体性的想法是⾮要有基本功不可的，就算很琐碎的知识，你也要晓得，以后才能对整个学科有⼀个基本的、宏观的看法。
《真与美：丘成桐的数学观》，丘成桐著，江苏凤凰⽂艺出版社2023年8⽉出版，定价：88.00元