物理所公众号两岁啦~ 今天我们借两周年之际也来扒一扒物理学中有哪些特别“二”的东西。道生一，一生二，二生三，三生万物。——老子《道德经》。
引子.二哲学与不二哲学。道家哲学谓三生万物，西洋人莱布尼兹谓自无导出万物，一足矣，皆属谬误之论，前者失于过繁，后者失于过简。以笔者所观数理哲诸般书籍而论，二即一切，才是正论。其实，老子和莱布尼兹应该也是明了“二才是一切”的道理的。
老子在“三生万物”之后紧接着的一句是“万物负阴而抱阳，冲气以为和”，而莱布尼兹说出sufficit unum 是在他自易经悟出二进制数字对着0和1的有感而发，而不管是阴阳还是binary number，关键词都是“二”。
二的影子散见于物理、数学各处，触手可及。
以英文而论，就有以two，binary，double，second-order，rank-2，dual，以及字面是4而实际在说2的squared，quadratic，quadic等词修饰的各种概念，此外还有interaction，coupling，correlation这种暗含2的概念。有趣的是，人们似乎对2都有嫌多的情绪。东方有所谓的不二哲学，西方有强调整体的一元论。
一旦遭遇两种面目或者选择，人们就会变得含糊、游移不定，中文谓之“有点二乎”，西文的动词怀疑，形容词令人起疑的，其字面上都是二。与二相关的各种概念，构成了物理天地之大部分。
带平方的定律。拉丁语的4是quattuor，这在法语的quatre，意大利语的quattro，西班牙语的cuatro还都能看出来。方块有四角，所以谈论方形会和4联系起来是自然而然的事情。
一个边长为x的正四边形，面积为x²，德语的说法是x quadrat，英文就说是x squared。Square，其前缀为ex-，意思为out；词干是动词quadrare，与数词quattor同源。x²就是x的二次幂，中文读成x的平方，而平方按照字面理解就是平的方块。数的平方在数学和物理上足以带来充分多和充分复杂的内容。在数学上，quadrature因为历史的原因就是求面积的意思。
一个为人熟知的squaring问题就是squaring the circle，是古时候一段时间里非常挑战智力的几何问题。
以y=kx²形式出现的物理定律有很多，比如焦耳定律，电阻的功率和电流平方成正比；自由下落，下落高度与时间平方成正比，下落高度与获得的速度平方成正比，等等。其实，当年焦耳、伽利略和Willem's Gravesande分别得到这些定律时的数据都是很粗糙的。
但是，真实的科学就是这样做的：当把两个数据的关联画到一张纸上时，人们首先看是否成线性关系；如果不是，就会想到平方关系。这种数据之间的线性或者平方关系只要大致有个差不多就行了，才不需要在意有多大误差呢。
由下落高度与获得的速度平方成正比，Émilie du Châtelet女士引入了vis viva（活力），mv²，这个量，其后贝努里引入了因子1/2，这才有了1/2 mv²这种形式的动能概念。
整数之于平方似乎情有独钟，方程x² + y² = z²有整数解，但换成x³ + y³ = z³或者更高次幂的形式就没有整数解了，这就是所谓的费马大定理。在近代数学家几百页的证明和费马所说的书边角写不下的证明之间，我选择后者。即便费马当时吹牛了，我也相信存在费马大定理的简单证明。
人们初学物理时就会学到两个平方反比律，一个是物体之质量造成的牛顿万有引力f=Gm₁m₂/r²，一个是物体之电荷造成的库仑力f=1/4πε₀q₁q₂/r²。初学时，觉得这两个力的表达可高深了。后来知道，这只不过是强调了我们是生活在3D空间这个事实而已。在3D空间中，一个半径为r的球其表面积为S=4πr²。任何一个物质流自一点各向同性地向外辐射，其流是守恒的，则其流密度总是和4πr²成反比。
至于流的源对应的物理量，比如一颗桂花树上桂花的数目，同造成的场之强度，比如在远处闻到的花香浓度，可以引入一个比例因子从而将它们写成一个方程的形式。把牛顿引力写成f₁→₂=4πGm₁/4πr²m₂的形式，库仑力写成f₁→₂=1/ε₀q₁/4πr²q₂的形式，场的概念就跃然纸上了，且由系数的选择能看出来后者要比前者晚。
后者理解了那4π的来由，一个比例因子1/ε₀简洁轻便，而万有引力常数不得不经常和4π结伴而行。
掀开了量子时代的面纱的是一个和自然数平方有关的规律。氢原子在可见光范围内的光谱，从右向左可见间距渐小的四条分立的谱线。1885年，瑞士人巴尔莫发现这四个波长近似地是常数值b=3645.6 Å的9/5，4/3，25/21和9/8倍。
进一步地，可将这四个分数写成3²/(3²-2²)，4²/(4²-2²)，5²/(5²-2²)和6²/(6²-2²)，这是公式n²/(n²-2²)的n=3，4，5，6四项，由此可见光谱线是有规律的。有了这个公式，可以计算n=7对应的波长为b7²/(7²-2²)=3969.6 Å，回头去看光谱图，这第5条谱线赫然就在那。
现在换个角度看，会发现波数，就是波长的倒数，可以表示为vB=R(1/2²-1/n²)，n=3，4，5…，其中的R≈10973731 m⁻¹被称为里德堡常数。这个公式后来被进一步扩展成更一般的形式v=R(1/m²-1/n²)，其中m，n (>m)都是正整数。
1913年，玻尔看出了巴尔莫公式或者说里兹公式中的奥秘，两项相减的光频率公式可以诠释为发光是电子从一个能级到一个较低能级的跳跃过程的伴随现象，光的能量量子为原子中两电子能级之差。
量子力学的时代真正开始了。四次方或四次方倒数形式的公式也有。前者有Stefan—Boltzmann公式，谓黑体辐射积分能量之体积密度正比于温度的四次方，后者是说两平行板之间的Casmir力与板间距的四次方成反比。同样是公式，前者是扎实的物理，后者是来自量子场论的比较率意的推导。后者被诠释为来自真空零点能的神奇效应。
二元数、两体势与相互作用。
形容词binary，来自bis，放在名词前面表示该事物由两个部分组成。任何由两个单元组成的体系都是binary system，比如binary star system，即由绕重心转动的两颗恒星组成的体系。两个通过万有引力相互作用的物体的运行轨迹是经典力学的标准问题。只考虑两个单元相互作用的碰撞是binary collision。
只有两个数字0和1的数系是二进制数，英文为binary numbers。在数学中一个拥有two-component的数是复数。复数定义为z=x+iy，其中i是单位虚数，x和y都是实数，分别是复数的实部和虚部。
实际上，没有理由认为这其中有什么古怪的虚数，将复数z看作是具有两个部分的数，记为(x,y)，则只要满足算法(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂)，(x₁,y₁)×(x₂,y₂)=(x₁x₂-y₁y₂,x₁y₂+x₂y₁)，那就再现了复数的算法。
可见，所谓的复数，尤其是那个单位虚数i，带入数学的是一种新的代数。这样的二元数，就是binarions。复数有两个单元，还暗含全新的代数，这样我们就容易理解了，为什么一个扩散型的方程∂tC=D∂x∂xC，扩展成了i∂ψ/∂t=[2/2m∂²/∂x²+V(x)]ψ形式的复函数方程，现在它被称为(1D)薛定谔方程，就演绎出了那么多的幺蛾子。
物理上两粒子间的势能被选为如下形式的粒子间距离的函数，而一个多粒子体系的总势能是两体势能之和。这样的势能形式被称为binary potential，我们的物理学中采用的都是binary potential。对于三粒子体系，V=V₁₂+V₂₃+V₃₁；不知道存在三体势的世界，物理是什么样儿的。Binary potential反映的是interaction的思想。
牛顿第三定律云：反作用“总是相反”且等于作用，或者说两物体相互间的作用总是相等且作用到相反的参与方。既然action和reaction是mutual的，那就是在谈论inter-action。
相互作用不是粒子间影响对方运动的游戏，而是其自身存在的方式。认识到interaction在物理学中的地位是物理学上的一大革命。
重力问题，早期关切的是物体的weight or lightness，此前被认为是物体自身的性质。不知是否是航海贸易发现货物重量莫名其妙的增减让人们认识到了物体的重量是物体和地球两者的事情。Interaction，在牛顿和库仑的力表示中，都落实为物质某个指标的乘法，后来引入的关于基本粒子的强、弱相互作用也是换汤不换药。这似乎能解释群论在物理学中的地位——群论是只保留了乘法部分的代数。
二次型。前面已经说过，quadrature与四边形和面积有关。振子相位差为90°，即2π/4，从方位上讲是从指向正方形的一边转到邻边，则被说成是in quadrature。形容词quadratic和quadrature，quadrate同源，也被理解为平方的意思。
Univariate quadratic equation，ax²+bx+c=0，就是一元二次方程。
如果一个多项式的每一项都是二次幂的，即homogeneous polynomials of order two，比如x²+axy+by²+cyz+dxz+z²，这就是quadratic form。二次型对物理学具有特别的意义。一个n-变量的二次型有标准形式q(x₁,x₂…xₙ)=xTAx，其中A是实的对称矩阵。矩阵A总可以被对角化，也就是说二次型总可以化成只包含各个变量平方的形式。
对于具体的物理问题，比如转动惯量矩阵，也即将绕某方向的转动惯量表示成方向余弦的二次型中的系数组成的矩阵，对角化后的本征值，都是正的。当然，这是因为我们生活的空间是欧几里得空间R³,0的原因。
狭义相对论的时空是R³,1，点到原点距离的平方为-c²t²+x²+y²+z²。不同空间其几何性质的不同，研究一下距离平方为x²+y²和x²-y²两个2D世界就能找到一点感觉。只有两个变量的二次型是binary quadratic form。谐振子的哈密顿量可写成H=q²+p²的形式，是两变量的标准二次型。由麦克斯韦方程组得到的电磁场的哈密顿量也都是这样的标准二次型。
二阶微分方程。
牛顿发明了微积分。牛顿对物理学的贡献之一，是确立了用second-order微分方程描述物理世界的基调。牛顿关于运动的第二定律说运动的改变正比于所受驱动力，且在驱动力所在的直线方向上。把运动的改变表示为坐标对时间的二阶微分，而力被限制为是时空和速度的函数，则牛顿第二定律可形式地表示为d²x/dt²=f(t,x；dx/dt)，这为此后的物理学定下了基调：物理学的动力学定律采二阶微分方程的形式。
为什么要采取二阶微分方程的形式呢？因为一阶微分方程太简单，而三阶微分方程太复杂。
麦克斯韦方程组关于电场和磁场的微分方程形式看似一阶微分方程，因为那里只出现了电、磁场关于时空的一阶微分。引入了标量的二阶微分。量子力学的动力学方程为薛定谔方程，这是一个关于复函数的二阶微分方程。物理学的动力学方程为我们描绘了一个二阶微分方程统治的世界。自然真的是由二阶微分方程描述的吗？关于这一点，笔者有些含糊。
二象性与对偶。Duality，词根dualis是2的意思，汉译根据不同的语境译为对偶性和二象性，有点拔高的意味，其实就是“二乎”。比如，量子力学关于粒子的本性就有波—粒子二象性的说法，一般教科书会诠释为既是粒子又是波，因此还有wavicle的说法。笔者以为这种说法未说到点子上——我们构造的波与粒子的形象是电磁波在频率标上的两个极端。
波长过百米的无线电波，怎么着也难以想象它是粒子，而能量为MeV的γ光子，很难想象它会表现出什么波动性。
居于两个极端之中间地带的，比如可见光和X-射线，就会同时表现出我们以为的那种波和粒子的特性。特征X射线就同时有将其当作波的WDX分析模式和将其当成粒子的EDX分析模式；而可见光部分的量子力学实验中，有些实验者可能无意中在实验路途的不同地带上不停地变换着关于电磁波的认识。
出现连续—分立二象性的地方是关于量子力学的测量问题，一方面我们要求因为测量诱导了一个量子事件，某个测量的结果以恰当的几率突然而出现；另一方面，对于一个孤立的、未置于测量之下的体系，我们又要求体系按照薛定谔方程连续地、决定性地演化着。这种翻手为云、覆手为雨的手法对应一种duality in dynamics。存在这些有点儿“二乎”的观念，反映出量子力学是一个四面透风的理论。
二值性。二值性，付诸实验验证，是最能得到明确结论的情形。当一束银原子经过非均匀磁场后它会分成两束，分开多远、各自多宽以及边缘处根本没分开，这些都不重要。当将其中一束经过一个与前置的非均匀磁场垂直的非均匀磁场后，发现这一束又被分成了两束，物理学家凌乱了。银原子束在磁场中暴露出的two-valuedness， 大自然早就显示了，钠黄线双线就是一例。
钠的黄色双线揭示了电子波函数的基本二值性。电子波函数的二值性又不得不进行第二次倍分以便同相对论的原理相调和，扩展电子波函数的四值性被狄拉克漂亮地解释为一个新粒子——反电子，如今被称为正电子。一次又一次，当我们被意料之外的观测逼入死角的时候，一个凑巧的加倍——一个理论结构到自身的折叠——又恢复了我们的理解，或者说由其而来的幻觉。
二元一次方程组。二元一次方程组是初二学生都会解的，然而，就是这样简单的二元体系，其蕴涵的科学内容却是非常深刻的。笔者此前读到所述热力学第一定律和第二定律是耦合的，百思不得其解。近期翻译热力学早期文献，并配合着线性方程的研究，方始有所觉悟。考察卡诺循环，热机在一个循环内从高温热源T₁处吸收热量Q₁，向低温热源T₂处放出热量Q₂，其间净做功W，根据热力学第一定律，有Q₁-Q₂=W。
因为是在两个热源间工作，做功是目的，Q₁-Q₂=W可看作是两变量Q₁，Q₂的一个方程。这个方程不足以把一个卡诺循环确定下来；反过来说，关于卡诺循环必然还有另一种关系，这就是1850年代克劳修斯和开尔文爵士揭示的另一个关系，Q₁/T₁-Q₂/T₂=0。这个关系才是对第二定律的正确表达。从二元一次方程联立求解的角度来看，热力学第一、第二定律是耦合的说法，就好理解了。
对一个物理定律的正确表达，应尽可能采取严格的数学表达，那种文字上的表达，比如热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述，只会带来认识上的混乱。热力学第二定律的出现比第一定律早，从第二定律数学表达的微分形式容易导出熵的概念。
基于熵的概念，热力学第二定律在公理化的热力学里有了更严格的表述：对于1-form TdS + y_idX_i，其中y_idX_i是力学量定义的、量纲为能量的1-form，TdS + y_iX_i总可以表达为某热力学函数的全微分。
笔者注意到的从二元一次方程组的角度更容易理解的一项伟大科学成就是拉瓦锡的工作。
通过称量反应物与生成物的质量，拉瓦锡确立了化学反应的质量守恒定律，比如对反应A+B→C，有关系式m_A+m_B=m_C，这和Q₁-Q₂=W如出一辙。同样的问题是，一个方程m_A+m_B=m_C不足以确定这个化学反应，一定还存在另一个关系！拉瓦锡经过仔细分析发现，对于一个化学反应反应物和生成物的质量之比总是小的整数比，比如对于反应C+O₂→CO₂，m_A:m_B:m_C~3:8:11。
这是一个普适性的观察，如何理解。
拉瓦锡推论，原子的化学性质是不同的，但是原子质量的构成是由下一层次的单元构成的，而下一层次的提供质量的单元是同一的。拉瓦锡用天平称量物质的质量研究化学反应，是他天才的思维能力让他由此洞察了原子核的秘密。
结语。
本篇介绍了平方(反比)律、二次型、二元数、二阶微分方程、两体势、对偶性、二值性、二元一次方程组等诸多与“二”有关的数学物理内容，虽然内容繁多，可能有助于读者学到一点物理学的实质内容，实则是只能提供一个挂一漏万且必定是蜻蜓点水般的介绍。有太多的关于“二”的内容，比如对物理学很重要的dyad，quadric概念，就没能介绍。显然，有更多的内容我根本就不知道。
Rank-2张量在物理学中的作用我拟专文介绍，而order-2算子的本征值问题及其在量子力学中的作用笔者则刚开始做相关的研究。
就深度而论，所发议论也是令人遗憾地浅薄，象(x,y)，x+iy，<ψ|ϕ>，(ψ↑，ψ↓)里涉及的two components的内在关联是怎样的，polarity，duality，coupling，conjugacy，complementarity，correlation这几个二元观念的异同，笔者都没有能力加以深入讨论。有兴趣的读者，不妨于闲暇时自己参详一二。