晶体具有规则的外形，来自内部原子的规则排列。晶体具有最小的重复单元，是由最小重复单元在三维空间堆积起来的，即晶体具有平移对称性。对称性可以用群这个数学概念来表征。平移对称性限制了晶体重复单元只有n=1，2，3，4，6次转轴，因此晶体只有32种点群（单胞的对称性）。32种点群同三维空间中平移操作的组合，决定了晶体只有230种空间群。不管有多少种具体的晶体，按照对称性分类只有230种。
二维情况下，n=1，2，3，4，6次转轴加上镜面反映只能得到10种点群；10种点群与二维空间中的平移操作组合，只能得到17种二维空间群。远在人类有群论知识之前，许多文明都认识到了二维晶体只有17种对称性，反映在二维装饰图案比如窗棂的设计上。
晶体大自然中存在许多固体，其中一些固体具有规则、美观的外形，比如见于火山口的金刚石、水晶和硫磺等，它们被称为晶体。
晶体具有规则的外形，如果仔细观察，会发现其小面之间成恒定的夹角，与晶体大小无关。打碎的晶体小块中能看到许多相似的形状，这让人们猜测晶体具有一个最小的几何单元，称为单胞（unit cell），晶体是单胞在三维空间中堆砌而成的，类似纸箱子堆满仓库。平行六面体（特例为正方体），开尔文爵士的截角八面体，都能充满整个空间。
由此而来的一个认识是，晶体具有平移对称性，平移对称性又决定了晶体中允许存在的转动只有n=1，2，3，4，6次转动这五种可能，这被称为晶体学限制定理。作为数学的表现是，描述晶体转动的矩阵的迹（trace of matrix），必为整数。这个晶体学限制定理，还有个简单证明。考虑到晶体是原子层堆垛而成，故而只需考虑一个平面上的排列方式所允许的转动。平面有两个独立方向，这注定了平行四边形是平面上的单胞。
画两组成一定夹角的线簇，可看到是平行四边形的单胞铺满整个平面。任意改变平行四边形的边长比和夹角，可看出这个平面铺排的花样会出现哪些转动对称性。任意的边长比和夹角，没有转动对称性，或者只有n=1次的转轴；夹角180°，边长不等，对应n=2次的转轴；夹角90°，边长相等，对应n=4次的转轴；夹角60°，边长相等，对应n=3(6)次的转轴。
平移对称性决定了晶体中只有n=1，2，3，4，6次这五种转动，这限制了晶体单胞所能具有的对称性（点群），也就限制了单胞对称性与平移对称性的组合（空间群）。实际的三维晶体只有32种点群，230种空间群。为了理解的方便，本篇多借助二维情形展开相关讨论，二维晶体只有10种点群，17种空间群。二维的空间群又叫墙纸群（wallpaper group），亲切吧！
对称性操作可用群的概念描述。
群的概念是研究几何和代数方程解的时候提出来的。
若一组操作（operation，动作）满足如下四个条件：（1）有一个单元操作I（操作以后对象不变，或者是啥也没干）；（2）两个操作接连完成的效果等于这个集合里某个单一操作的效果（用群论语言，G×G∈G）；（3）操作满足结合律（用群论语言，gi(gj gk) =(gi gj)gk）；（4）每一个操作都有逆操作（用群论语言，总存在gj = gi-1，gi gj =gj gi = I）。
这一组动作就构成一个群（group）。其实，群就是一种特殊的集合，其元素间定义了满足结合律的乘法，且按照这个乘法每一个元素还都有逆。对称性操作就满足群的定义。注意，一个群元素可以表示为一个数学对象，比如矩阵，因此群是物理学研究的重要工具。
举例来说，图3左图为鸡蛋花，五瓣，绕中心轴转2π/5看不出曾有过转动。我们说（理想的）鸡蛋花具有C5对称性，其对称群为C5群。
关于鸡蛋花的对称操作有转动0，2π/5，4π/5，6π/5和8π/5角这五种可能，可以验证它们满足群的定义。又比如图3右图中的三叶草，它的对称性和正三角形是一样，绕中心轴转2π/3角相对于过顶点的中线作镜面反映（σ-操作），都看不出变化。（理想的）三叶草具有D3对称性，其对称群为D3群。
关于三叶草的对称操作有转动0，2π/3，4π/3角和镜面反映σ1，σ2，σ3这六种可能，可以验证它们满足群的定义。
二维空间里，转动只有n=1，2，3，4，6次转轴五种可能，这构成了C1，C2，C3，C4，C6五种点群。添加镜面反映（其实是线反映）也各只有一种可能，Dn = Cn + σ，这构成了D1，D2，D3，D4，D6五种点群。这样，二维点群总共就这么十种。
此处使用Schöflies记号，下同。已知了二维点群，使其同平移对称性结合（有时有多于一种的方式），可以构造出二维空间群。用通俗的话来说，设想你设计平面装饰图案，你先在平面上划格子（lattice），格子具有某种平移对称性（平移群），然后设计重复单元（motif），重复单元具有某种转动加镜面反映的对称性（点群）。
若重复单元与格子相匹配，就可以在每个格点上放上那个重复单元，就凑成了整幅具有某种特定对称性（空间群）的图案。二维空间群（墙纸群）是建筑、服装、绘画、材料、物理等专业工人的必备知识。
现在看二维点群与二维格子构成二维空间群的具体情况。先介绍要用到的术语。
C是cyclic（循环的、转圈的）的首字母，D是dihedral（二面的）的首字母，p是primitive（初级的）的首字母，c是centered（带心的）的首字母，m代表mirror（镜面），g代表glide（滑移面。经这个面反映后，还移动一段距离）。空间群的记号会大致告诉你晶体的对称性特征，比如pmg是初级晶格+镜面+滑移面，cmm是面心晶格（单胞是带心的长方形）+垂直方向上的镜面。
二维空间群共17种可能，排列如下：
1) 点群C1，C2，C3，C4，C6分别对应空间群p1，p2，p3，p4，p6；
2) 点群D1对应空间群pm，pg，cm；
3) 点群D2对应空间群pmm，pmg，pgg，cmm；
4) 点群D3对应空间群P31m，P3m1；
5) 点群D4对应空间群p4m，p4g；
6) 点群D6对应空间群p6m。
重复单元的对称性与晶格对称性的匹配问题，高对称性的重复单元要求高对称性的格子，其中，点群C3，C6，D3，D6要求六角格子，其单胞是夹角60°的菱形；点群C4，D4要求正方格子。为了加深理解，图4中给出了具有空间群的花样，读者可自己试试找出相应的重复单元和单胞。二维空间群只有17种已知有几个世纪了，它的别名墙纸群可资为证，但证明，或曰基于数学知识的列举，要等到1891年由菲德罗夫给出。
三维空间依然只有平面型的转动，即只有n=1，2，3，4，6次五种转动，但多了一个维度，因此就扩大了转动与镜面反映组合的可能性。转轴除了C和D的区别外，要加入镜面，可能是v(vertical，竖直的，镜面过转轴)，也可能是d（diagonal，对角的，镜面过转轴），可能是h（horizontal，水平的，镜面垂直于转轴）。
此外，还有转动与镜面反映的组合S（Spiegel，德语镜子），以及高对称的T（tetrahedron，正四面体）和O（octahedron，正八面体）。三维点群可列举如下，C1，C2，C3，C4，C6共五种，加h得Cnh五种，加v得Cnv五种；D1，D2，D3，D4，D6五种，加h得Dnh五种，加d得Dnd五种，共30种。
然而，在三维空间中C1v=C1h，D1=C2，D1h=C2v，D1d=C2h，而D4d，D6d意味着存在8次和12次转轴，是不允许的。排除这6种可能，实际上得到的是24种点群。加上更复杂的组合S2，S4和S6；T，Th，Td；O，Oh，还有8种，故总共有32种点群。这32种点群，对称性高低不同，Oh，D6h，D4h分别占据最高端，其它低对称性点群是高对称性点群的子群。
32种点群的结果，由赫赛尔于1830年推导出来。32种点群与三维空间平移对称性的组合，可得到230种空间群（若不同手征的只算一种，是219种）。三维空间群由菲德罗夫和熊夫利斯于1891年独立地列举空间群，但各有疏漏。1892年两人在通讯中互相校正，得到了230种正确的列表。由于内容太多，此处不一一列举了。有兴趣的读者，尤其是凝聚态物理类的研究生，请参阅相关专业书籍。
这中间的一个关键步骤是，确立了三维空间的格子只有14种，这是由布拉菲于1850年完成的。所谓的布拉菲格子，是由那个根据平移能够充满空间的单胞（平行六面体）的形状加以表征的。
布拉菲格子，用其单胞来指代，按照点群对称性由低到高，分别有三斜晶系/Ci一种，单斜晶系/C2h两种（外加带底心的），正交晶系/D2h四种（外加带底心的，带体心的，带面心的），四方晶系/D4h两种（外加带体心的）；六角晶系/D3d和/D6h各一种，以及立方晶系/Oh三种。
点群与空间群的关系，来自晶体平移对称性的约束。
晶体的平移对称性宣称，若在空间某个点r（x，y，z）上有原子，存在三个线性不相关的基矢量a1，a2，a3，在R = n1a1 +n2a2 + n3a3 + r处（n1，n2，n3是任意整数），必有原子。但若将该原子放到合适的格点上，公式中的r值，以基矢量来表示，也只能是有限的几种可能（与带心的单胞或滑移面有关）。这个平移对称性限制了单胞形状的可能，也限制了点群和空间群的数目。
从数学的角度来看，晶体中的变换不改变空间中任一两点间的距离，因此它必须是取向欧几里得空间里的等距变换（group of isometries of an oriented Euclidean space）。因为原子是离散的，所以点群、空间群也是分立的（离散的、分立的，discrete）。
空间群的一个元素，由（M，D）构成，其作用是等距变换Y=M·X+D，M是个矩阵，M矩阵形成一个点群；D是个矢量，由点群和点群能匹配的晶格共同决定。考虑到平移对称性意思是R = n1a1 + n2a2 +n3a3 + r中的n1，n2，n3是任意整数，空间群可以看作是某些整数域上的变换群。从群论出发，硬推导出三维空间的230种可能，对谁都是挑战。
晶体学群论的工作，是由一批德国和俄罗斯科学家完成的。
矿物学发祥于这两个国家，相关的数学这两个国家的人有能力掌握，因此由他们构造晶体群以及考虑更高维格子、更复杂motif之晶体的群（比如色群）就是天经地义的了。他们这些工作追求的是关于物质的结构原则，结构原则同样适用于数学——结构是数学的最高原则。推导出完整的空间群是很困难的，从32种点群于1830年由一人推导出来到230种空间群于1891—1892年由两人才正确推导出来，这其中的难度可以想象。
可惜这些文献多是德语和俄语的，尤其那些珍贵的俄语文献鲜有译文，现在是更没有人肯去掌握了。还有一点难能可贵的是，德国和俄罗斯的科学家和工程师似乎有点傻傻地真心热爱科学。一个理所当然的结果是，它们的人工晶体长得非常好。俄罗斯不仅有多种系统的晶体学教科书，他们长晶体也是最棒的。看着俄罗斯人生长的一人多高的硅单晶，令人不由得肃然起敬。
固体物理学教育在吾国已经开展多年了。
然而，关于晶体结构数学的介绍，基本上还只停留在固体有32种点群、230种空间群这么一句肤浅的介绍上。群论，群表示论，空间群的导出与表示，空间群在计算物理方面的应用，空间群对物质物理性质的限制，空间群对物质刺激—响应行为的限制，这些都应该成为凝聚态物理类研究生的必备知识。2018年是一个“伤芯”之年，我们终于认识到，处于信息时代而不拥有芯片制造技术，是多么可怕。
然而，芯片需要高质量的晶体，而高质量晶体的生长及其后的器件制备，是需要有懂晶体学的科学家和工程师的，这一点但愿我们将来也能认识到了。数学才是一个国家、一个民族的核心竞争力，我说的，我信。