庞加莱1905年的两篇同题文章《论电子的动力学》，虽被主流学术界遗忘一百多年，但终究会被载入史册，从而成为整个物理学经典中之经典。他所发现的洛伦兹群，已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。他所建立的四维时空的赝欧几里得几何，让时间t与空间x、y、z一样变为相对量，进而产生出同时性的相对性、时间膨胀、长度收缩等人们至今仍津津乐道的话题。
他所建立的四维相对论运动方程，终结了牛顿运动方程对物理学长达两百余年的统治，使之变为狭义相对论的低速近似规律。他所证明的电动力学的完整协变性，让运动物体的电动力学从物理学前沿研究变成相关应用学科的必备基础，也变成大学课堂上聚讼纷纭的永恒主题。
我们在上期《庞加莱的狭义相对论之一：洛伦兹群的发现》中，介绍了庞加莱《七月文章》的重要发现之一：洛伦兹变换与空间转动一同构成了一个群。
这个洛伦兹群的存在，直接导致了四维时空的赝欧几里得几何，从而奠定了狭义相对论的运动学基础。在四维时空中看，两个惯性系之间的相对运动就相当于四维笛卡尔坐标轴转了一个角度，而保持间隔s²=x²+y²+z²-(ct)²或微分时空间隔ds²=dx²+dy²+dz²-(cdt)²不变。
正是这一时空几何性质让时间t与空间x、y、z一样变为相对量，并产生如“同时性的相对性”、“时间膨胀”、“长度收缩”等陌生而有趣的概念。百年之后回头看，对洛伦兹群发现的重要性怎么强调都不为过，因为它已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。
庞加莱的这一发现，或许可以看作是对毕达哥拉斯“万物皆数”的绝佳阐释，恰如著名数学家盖尔方特所说：“数学是文化的一部分，……优美、简单、精确和不可思议的思想这四个东西的组合，正是数学的核心。”
对于物理学定律的对称性，费曼曾说：“我如此详细地谈论这个具体例子，是因为它开启了物理学定律的对称性研究。正是庞加莱，他提出了可以对方程做什么而使之不变的分析；也正是庞加莱，他主张对物理定律的对称性给予重视。
空间平移，时间延迟等对称性并不很深刻，但是，由均匀一致速度带来的对称性却非常有趣，而且产生了一系列后果。不止于此，这些后果还可以被拓展到我们未知的定律之中。”那么，究竟什么是物理学定律的对称性呢？对称性对任何人都不陌生，日常生活中随处可见，比如，圆形的餐桌，正方形的地砖，左右对称的人脸等等，数不胜数。我们发现：任意一个对称的几何图形，总存在一些让图形保持不变的操作。
比如，将圆形的餐桌转过任一角度，图形不会变；将正方形的地砖转过90°、180°、270°、360°，图形也不变；将左（或右）半脸作镜面反射，图形也不变等等。用数学的语言讲，对任一给定的几何图形，保持图形不变的操作被称为对称操作，所有这些对称操作的集合可以构成一个群。换句话说，我们称这个几何图形具有该群的对称性。
所谓物理学定律的对称性，即相应物理公式的对称性，顾名思义，也就是保持方程形式不变的对称操作，这些操作也构成一个群；类似的，我们也称这个物理学定律具有该群的对称性。下面我们将会看到，庞加莱在《七月文章》中如何具体证明麦克斯韦—洛伦兹方程组等一系列物理定律具有洛伦兹群的对称性，这正是费曼所说的“它是庞加莱的建议，去分析你可以对方程做什么而使之不变。正是庞加莱的态度，关注物理定律的对称性。”
其中，他最先发现了电磁作用量的洛伦兹不变性。十多年后的1918年，Emmy Noether正是从研究对称操作下的作用量不变性出发，揭示出对称性与守恒量之间的密切关系（Noether定理），充分彰显了物理学定律的对称性研究之重要性。
同时，正是基于对方程的对称性要求，庞加莱发现了电子的四维相对论运动方程这一原本并不存在的全新方程，这也正如费曼所说的：“但均匀速度的对称性是非常有趣的，并且有各种各样的后果。此外，这些后果还可以扩展到我们不知道的定律中。”